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Este plan de aprendizaje universitario consiste en una introducción a la matemática discreta y a sus aplicaciones, incluyendo además unas breves pinceladas sobre algunos métodos numéricos.
«Le hablaba yo cierto día a un perito químico de la hipótesis de Avogrado respecto al número de moléculas de los gases en igual volumen, y a su relación con la ley llamada de Mariotte y a sus consecuencias en la química moderna, y hubo de contestarme: "¡Teorías, teorías! Todo eso a mí no me importa... Eso para los que hacen ciencia; yo me limito a aplicarla". Me callé, torturando mi magín para dar en cómo puede aplicarse ciencia sin hacerla, y al cabo, cuando pasado algún tiempo supe por qué había estado a la muerte nuestro perito, lo comprendí al cabo».
Miguel de Unamuno (1864-1936): De la enseñanza superior en España [On higher education in Spain], Madrid, Revista Nueva, 1899, http://www.liburuklik.euskadi.eus/handle/10771/24524, p. 45. También, en: Obras Completas de Miguel de Unamuno, Vol. VIII (Ensayos), pp. 1-58 (la cita, en la p. 32).
«A mí me encantaba cuando mi padre se ponía así. Mientras le oía hablar durante mis años mozos, empecé a comprender la importancia que tenía ser capaz de entusiasmarse por algo en esta vida. Él me enseñó que si te interesas por alguna cosa, sea cual sea, debes volcarte sobre ella con todas tus fuerzas. Abrazarla con ambos brazos, apretujarla, amarla y sobre todo apasionarte por ella. Si no hay entusiasmo nada vale la pena. El simple acaloramiento no basta. Hay que ponerse al rojo vivo y apasionarse al máximo. Si no, no vale la pena».
Theresa, Rubi (Rubi Ma'am) (2016), (11-15)Multiplication Using hands (Tablas de multiplicar del 11 al 15, con las manos; explicación en inglés en los comentarios).
Esta asignatura es una introducción a la matemática discreta y sus aplicaciones, incluyendo además unas muy breves pinceladas sobre algunos métodos numéricos.
(Digresión: Quienes disfruten de las unificaciones podrían consultar, con respecto al espacio de diseño de las estructuras de datos, la siguiente publicación: Stratos Idreos, et al., The Periodic Table of Data Structures, Bulletin of the IEEE Computer Society Technical Committee on Data Engineering, vol. 41, no. 3, pp. 64-75, 2018 —disponible en: https://stratos.seas.harvard.edu/publications/periodic-table-data-structures —).
Para el plan docente de esta asignatura se han tenido en cuenta, entre otras y principalmente, las recomendaciones presentes en el informe Computing Curricula 2020* (31 de diciembre) y particularmente en el Computer Engineering Curricula 2016† y en el Computer Science Curricula 2013‡, sin olvidar las ya clásicas de Bertziss (1987)§.
En cuanto a Matemática Discreta, este último informe CSC identifica los siguientes temas como esenciales para las estructuras discretas (pp.76-81):
DS1) Funciones, relaciones y conjuntos;
DS2) Lógica básica,
DS3) Técnicas de demostración,
DS4) Principios de recuento,
DS5) Grafos y árboles, y
DS6) Probabilidad discreta,
a los cuales añadiríamos:
MD1) Estructuras algebraicas,
MD2) Matrices,
MD3) Algoritmos y complejidad, y
MD4) Teoría básica de números.
Si bien hemos de tener en cuenta que parte de algunos de estos temas se trabajan en otras asignaturas impartidas en la Escuela Politécnica (de ahí que no los destaquemos): DS5, en Estructuras de Datos y de la Información (UEX 501271, semestre 2.º) y en Análisis y Diseño de Algoritmos (UEX 501273, semestre 3.º); DS6, en Estadística (UEX 501270, semestre 2.º); MD2, en Álgebra Lineal (UEX 502382, semestre 1.º); MD3, en Introducción a la Programación (UEX 502304, semestre 1.º) y en Análisis y Diseño de Algoritmos (UEX 501273, semestre 3.º).
Por otro lado, el Computing Curricula 2020* propone (pág. 111) como competencia (DS-Discrete Structure, E): «Analizar un problema industrial para determinar las relaciones de recurrencia subyacentes y presentar la solución al equipo profesional utilizando una variedad de relaciones de recurrencia básicas». De aquí que incluyamos específicamente el estudio de las ecuaciones en diferencias.
DS-E) Ecuaciones en diferencias.
En cuanto a Cálculo Numérico y de cara a proporcionar al estudiantado una introducción suficiente a los algoritmos y métodos para la computación de aproximaciones discretas usados para resolver problemas continuos, tanto en el ámbito de lo lineal como de lo no lineal, identificamos como contenidos esenciales:
CN1) Raíces de Ecuaciones,
CN2) Ecuaciones Algebraicas Lineales, y
CN3) Ajuste de Curvas (regresión e interpolación).
Si bien hemos de tener en cuenta que parte de algunos de estos temas se trabajan en otras asignaturas impartidas en la Escuela Politécnica (de ahí que no los destaquemos): CN2, en Álgebra Lineal (UEX 502382, semestre 1.º); CN3, en lo tocante a regresión, en Estadística (UEX 501270, semestre 2.º).
Todas las personas, tras haber cursado y estudiado esta asignatura, deberían haber alcanzado los siguientes objetivos:
Dianas: Representación, formulación, abstracción, modelización, verificación y generalización.
Generales: Adquirir cultura científica y cultura matemática en particular. Potenciar las actitudes reflexivas y creativas. Potenciar habilidades y destrezas de análisis, búsqueda, descubrimiento, verificación y generalización. Promoción del desarrollo y mejora de las habilidades de resolución de problemas y de las actitudes positivas hacia el pensamiento matemático, analítico, crítico concreto y creativo. Mejorar su preparación para el estudio independiente y crítico y para la valoración de publicaciones académicas elementales y divulgativas sobre los contenidos tratados en la asignatura. Desarrollar la capacidad de aprendizaje permanente.
Comunes: Potenciar la habilidad para elaborar estrategias de resolución de problemas y de toma de decisiones. Incrementar la capacidad de interpretación de los resultados obtenidos. Aumentar el rigor en las argumentaciones y desarrollar las habilidades para usar la información y para la lectura y escritura y para la exposición oral o escrita de ideas y razonamientos.
Específicos de los temas 1 (Fundamentos I), 2 (Fundamentos II) y 3 (Teoría de números): Potenciar la habilidad para comprender y usar el lenguaje lógico-matemático. Desarrollar la capacidad de abstracción mediante la construcción y reconstrucción de argumentaciones lógico-matemáticas. Potenciar la capacidad de razonamiento lógico-matemático en sus tipos deductivo, inductivo, abductivo y algorítmico.
Específicos de los temas 4 (Razonamiento combinatorio) y 5 (Combinatoria avanzada: ecuaciones en diferencias): Potenciar la capacidad de razonamiento lógico-matemático en sus tipos inductivo, algorítmico y recursivo. Potenciar la habilidad para el recuento.
* Por favor, tenga en cuenta que basta con conocer la lengua española con un nivel CEFR A2 para solicitar la nacionalidad española y para estudios universitarios, en general, con un nivel CEFR B1 para estudios de grado y CEFR B2 para estudios de posgrado.
Como este libro incluye la amplia mayoría del material de la asignatura —que, dicho sea de paso, se corresponde con los contenidos que se enseñan en la actualidad en cientos de universidades en el campo de la matemática discreta—, se recomienda su adopción y estudio. El libro de Rosen es, a la vez, un libro de texto y un libro de ejercicios con multitud de ejercicios y casos prácticos (ejercicios de programación, cálculo y experimentación). Puede, asimismo, ser considerado un libro guía al incluir múltiples lecturas sugeridas. A pesar de su espíritu enciclopédico, también es un manual al incluir listas de términos claves y resultados y cuestiones de repaso.
Como sabe, las nuevas ediciones actualizan y mejoran las anteriores, incluyendo eventualmente nuevo contenido, por lo que es muy recomendable que, dentro de lo posible (principalmente por cuestiones de tiempo y conocimiento de otros idiomas), lea y estudie las nuevas versiones de las secciones y ejercicios, por tanto, tenga principalmente en cuenta estas ediciones (aunque aparezca destacada la última en español):
En estas páginas web, además, puede encontrarse, en inglés, entre otros materiales y recursos, demostraciones interactivas, formularios de autoevaluación y ejemplos extra.
Rosen: libros de soluciones de todos los ejercicios propuestos[editar]
Por otro lado, este libro está acompañado por libros de soluciones de todos los ejercicios propuestos, en inglés, para la 5.ª y 7.ª ediciones estadounidenses:
Y también por los libros complementarios, en inglés, de exploración de los contenidos y de soluciones a lo propuesto en los epígrafes «ejercicios de programación» (computer projects) y «cálculo y experimentación» (computations and explorations), de la 7.ª edición estadounidense:
Rosen: libro de aplicaciones de la matemática discreta[editar]
Finalmente, desde las páginas web de ayuda mencionadas, puede llegarse y descargar el siguiente libro de aplicaciones de la matemática discreta, última edición pareada con la 6.ª edición del de Rosen, en inglés, y en cualquier caso, para su estudio posterior una vez terminada esta asignatura, salvo los capítulos que se indiquen de interés para la misma.
Y toda la biliografía y multimedia que aparecen en los temas, más adelante, y todos los libros y documentos que están referenciados o recomendados en el esquema de la asignatura, en las selecciones de cuestiones y en el plan docente (ficha12a).
Participar en MATDIN (MATemática DIscreta y Numérica) es una actividad optativa, práctica, de evaluación continua y no presencial, que además de merecer la pena por contribuir a su desarrollo personal, podría ayudarle a mejorar su calificación final en la asignatura; además, es del todo recomendable si piensa en la obtención de la mención de «matrícula de honor».
Es importante que usted tome conciencia de que unirse al proyecto «Matemática discreta y numérica» es optativo; hacerlo depende por entero de usted. Pero si lo hace, recuerde, usted acepta:
a) usar su verdadera identidad en páginas web de acceso público, abierto y libre (Wikipedia) —aunque usted puede usar un alias como nombre para la cuenta de uso que registre en Wikipedia, usted debe informar de su identidad real (nombre y apellidos) en su página de persona usuaria de la Wikipedia en español—;
b) mostrar educación y respetar la diversidad (por favor, recuerde, la diversidad es una riqueza, no es ni un problema ni una amenaza);
c) cumplir las normas y obligaciones establecidas por la coordinación de este proyecto (pulse y léalas aquí), en particular, los compromisos dinámicos (pulse y léalos aquí);
d) ayudar a las personas participantes en el proyecto en todo lo posible;
¿Me contradigo? Muy bien, entonces me contradigo, (Soy grande, contengo multitudes.)» Walt Whitmann (1819-1892): Song of Myself (en Leaves of Grass, 1855)
Estas NCI son la guía esencial para estudiar la asignatura.
Estas NCI son una republicación corregida y aumentada de materiales que vieron primero la luz como notas de clase, exámenes y sus soluciones.
Importante: las resoluciones que aparecen en esta página web o en otros archivos PDF anteriores están obsoletas pues aparecen revisadas y posiblemente corregidas y aumentadas en el texto esencial Matemáticas Discretas. Volumen 0.
Estudiemos en este libro los capítulos correspondientes y hagamos todos los ejemplos y actividades que aparecen en ellos:
temas 1 y 2 (fundamentos): capítulos del 0 al 17;
tema 3 (teoría de números): capítulo 18;
tema 4 (razonamiento combinatorio): capítulo 19;
tema 5 (ecuaciones en diferencias): capítulo 20.
Otros textos que aparecen a continuación son complementarios.
Contenidos: ► Lógica: proposiciones, equivalencias proposicionales, predicados y cuantificadores, cuantificadores anidados, traducción lengua española (LES) - lenguaje lógico (LEL), directa (LEL → LES) e inversa (LES → LEL), argumentos válidos y reglas de inferencia; demostraciones directas e indirectas, procedimientos de verificación o de refutación (tablas de verdad, contraposición, reducción al absurdo, formas normales, deducción natural, tablas semánticas). ► Conjuntos: conceptos y definiciones, cardinal y conjunto potencia; relaciones (pertenencia, inclusión e igualdad), operaciones (unión, intersección, complementación, diferencia y diferencia simétrica) y propiedades, partición, cardinal de la unión, producto cartesiano. ► Correspondencias, funciones y aplicaciones: tipos destacados (inyectiva, sobreyectiva y biyectiva), monotonía, representación (cartesiana, sagitaria, matricial y mediante grafos), composición, inversa; multiconjunto; métrica.
Actividades prácticas (seminarios/laboratorios): ► [1]: Pruebas y refutaciones, I; ► [2]: Pruebas y refutaciones, II; ► [3]: Pruebas y refutaciones, III. (Selecciones de cuestiones n.º 1 a la 3).
Contenidos: ► Relaciones: propiedades, representación mediante matrices y grafos, equivalencias, clases de equivalencia y particiones, relaciones de tolerancia, ordenaciones, diagramas de Hasse, relaciones de preferencia. ► Inducción: débil, fuerte y estructural; buen orden. ► Cardinalidad: conjuntos infinitos, numerabilidad, argumento diagonal de Cantor, el teorema de Cantor y la hipótesis del continuo. ► Estructuras algebraicas: magma, semigrupo, monoide, grupo, anillo, dominio de integridad, cuerpo; homomorfismo; espacio métrico (estructura métrica).
Actividades prácticas (seminarios/laboratorios): ► [4]: Inducción y recursión; ► [5]: Cardinalidad y estructuras algebraicas. (Selecciones de cuestiones n.º 4 a la 5).
Contenidos: ► Divisibilidad y aritmética modular: divisibilidad, algoritmo de la división, aritmética modular. ► Primos y máximo común divisor: representaciones de enteros, números primos y sus propiedades, el teorema fundamental de la aritmética, conjeturas y problemas abiertos sobre primos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, algoritmo de Euclides, teorema de Bézout y el algoritmo extendido de Euclides. ► Resolución de congruencias: congruencias lineales, función φ de Euler, teorema chino del resto, teorema de Euler-Fermat, teorema pequeño de Fermat, teorema de Wilson y teorema de Wolstenholme. ► Aplicaciones de las congruencias: funciones de dispersión, números pseudoaleatorios, criptografía. ► Criterios de divisibilidad: restos potenciales, criterios de divisibilidad. ► Ecuaciones diofánticas: ecuaciones lineales, sistemas.
Actividades prácticas (seminarios/laboratorios): ► [6]: Divisibilidad, aritmética modular, primos, mcd y congruencias; ► [7]: Ecuaciones diofánticas y en congruencias, I; ► [8]: Ecuaciones diofánticas y en congruencias, II. (Selecciones de cuestiones n. 6 a la 8).
Contenidos: ► Conceptos previos: funciones suelo y techo, factorial, factorial descendente y ascendente, coeficientes binomial y multinomial e identidades. ► Principios fundamentales de recuento: principio de la adición, principio del complementario, principio de la multiplicación, principio de la división; principios restringido y generalizado de los cajones de Dirichlet; principio de inclusión-exclusión. ► Operaciones combinatorias básicas: variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición y el cálculo de sus números totales. ► Demostraciones combinatorias: 1.ª, por biyección; 2.ª, por doble cuenta; 3.ª por elemento distinguido, y 4.ª, basadas en el principio de inclusión-exclusión. ► Modelización de cuatro problemas combinatorios de recuento simples y otras operaciones combinatorias: 1.º, selección de muestras y etiquetado de unidades con y sin repetición; 2.º, agrupamiento de unidades (distribución, almacenamiento o colocación de objetos en recipientes); 3.º, partición de conjuntos y de multiconjuntos, y 4.º, partición (descomposición aditiva) de un entero positivo. Interpretación intermodal.
Actividades prácticas (seminarios/laboratorios): ► [9]: Combinatoria, I; ► [10]: Combinatoria, II; ► [11]: Combinatoria, III. (Selecciones de cuestiones n. 9 a la 11).
Contenidos: ► Generalidades: sucesión de elementos de un conjunto; ecuación en diferencias, ecuación en diferencias lineal general de grado k: homogéneas y no homogéneas, homogénea asociada, con coeficientes constantes. ► Resolución de ecuaciones en diferencias lineales y de problemas de valores iniciales: sustitución hacia adelante (iteración), sustitución hacia atrás, estrategia telescópica, coeficientes indeterminados (ecuación característica, unicidad de la solución, principio de superposición), procedimiento quíntuple sistemático, funciones generatrices. ► Sistemas dinámicos lineales discretos: sistemas de ecuaciones en diferencias lineales, dinámica poblacional, modelos dinámicos discretos lineales, modelos BIDE. ► Resolución numérica de ecuaciones: método de las aproximaciones sucesivas (iteración de punto fijo); método de la secante.
Actividades prácticas (seminarios/laboratorios): ► [12]: Ecuaciones en diferencias, I; ► [13]: Ecuaciones en diferencias, II. (Selecciones de cuestiones n. 12 a la 13).
Seminarios/Laboratorios optativos, dos editatones (siempre que haya tiempo, el primero a mediados del cuatrimestre y el segundo, a finales; en cualquier caso, los contenidos concretos de estas actividades de desarrollo personal no serán parte obligatoria de ningún examen): ► [14]: Inicio de la lectura y redacción optativa de un breve análisis matemático y computacional, reflexivo, crítico y analítico, sobre el texto A. K. Dewdney (1993) The Tinkertoy Computer and other machinations. Chapter 17: Automated Math. Nueva York: W. H. Freeman. (En inglés). (Juegos de ordenador. De cómo un par de programas obtusos pasan por genios en los tests de inteligencia. Investigación y Ciencia, N. 116, mayo 1986, pp. 94-98, Prensa Científica, S. A. [En español]). ► [15]: Inicio de la búsqueda de información y redacción optativa de un breve análisis matemático y computacional, reflexivo, crítico y analítico, sobre la Conjetura de Collatz y sobre su «visualización» (por ejemplo: Collatz Graph: All Numbers Lead to One, de Jason Davies). (Véase también el taller del plan de aprendizaje).
Apéndices (optativos) (algunas cuestiones suplementarias o curiosas fuera del programa, aunque relacionadas con él)
Wikipedia en español es una obra voluntaria y colectiva que, como toda obra, como toda, contiene inexactitudes(1), si bien, «la perfección es una pulida colección de errores» (frase atribuida en la red a Mario Benedetti y a Mario Satz).
Anímense a corregirlos, a aportar todo lo que vayan aprendiendo sobre los temas que tratemos, a contrastar con Wikipedia en otros idiomas si los conocen, a recoger información de otros textos. En resumen, beban en buenas fuentes. Y escriban nuevos artículos en Wikipedia en español. A fin de cuentas, contribuyan a mejorar esta enciclopedia libre, al paso que estudian y aprenden.
A modo de ejemplo, algunas fuentes de calidad en la red son:
Lógica ecuacional(en; también, el capítulo 5 (Equational Logic: Part 1), de Backhouse, Roland, Program Construction. The Correct Way, 2002)
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]
En español:
En inglés:
—¤— Amador Antón Antón y Pascual Casañ Muñoz, Lógica Matemática. Ejercicios. I. Lógica de enunciados. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: NAU llibres, 3.ª edición, 1987. ISBN84-85630-42-4
—¤— Manuel Garrido Giménez, Lógica simbólica. Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Tecnos, 1989 (8.ª reimpresión). ISBN84-309-0394-1
—¤— María Gracia Manzano Arjona y Antonia Huertas, Lógica para principiantes. Humanes de Madrid, Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Alianza, 2006. ISBN84-206-4570-2.
—¤— Kenneth Howard Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. Aravaca, Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., 5.ª edición, 2004. ISBN84-481-4073-7. (Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 3.1 y ejercicios correspondientes).
—¤— Luis Manuel Valdés Villanueva, «Lógica elemental». En: Manuel Garrido (coord.), Lógica y lenguaje. Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Tecnos, 1989. ISBN84-309-1788-8.
—¤— Kenneth Howard Rosen. Discrete mathematics and its applications. Nueva York, Estado de Nueva York (US-NY), Estados Unidos: McGraw-Hill, 7.ª edición, 2012. ISBN978-0-07-338309-5. (Capítulo 1 y ejercicios correspondientes).
Baugher, Greg A. «Section 1.6 Rules of Inference»(Vídeo). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
— Estrategias de verificación y de refutación. Demostraciones directas e indirectas
Baugher, Greg A. «Section 1.7 Introduction to Proofs»(Vídeo). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
Baugher, Greg A. «Section 1.8 Proof Methods and Strategy»(Vídeo). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
Summa Logicae (María Manzano, Gustavo Santos, Belén Pérez Lancho, José Meseguer, Enrique Alonso, Huberto Marraud, Antonia Huertas, Dick de Jongh, Giovanna D’Agostino, Alberto Policriti)
Teorema de Zermelo (Nota: Este hecho, que todo conjunto admite una buena ordenación, es el que, aparentemente, una mayoría denomina también como «Principio del buen orden» (PBO); ref., p. ej.: Bagaria, Joan, "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/set-theory/>, y tantísimas otras; lo que WP o Wolfram MathWorld y otros denominan PBO es el caso particular de ser < un buen orden en ; en definitiva, la situación actual en la literatura es que por PBO tiene dos significados, bien Teorema de Zermelo, bien que < es un buen orden en ).
Capítulo interesante:Mosterín, Jesús (1993). Los conceptos científicos. En: Ulises Moulines, Carlos (ed.). La ciencia: estructura y desarrollo. Madrid:Trota, Consejo Superior de Investigaciones Científicas y Sociedad Estatal Quinto Centenario. Págs. 15-30. ISBN 84-87699-72-3.
—¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5.ª edición. (Secciones 1.6, 1.7, 1.8, Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
—¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7.ª edición. (Secciones 2.1, 2.2, 2.3, Capítulo 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Soto Espinosa, Jesús. «Conjuntos finitos»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (► Ejercicio 1: Estudio directo de la igualdad de conjuntos).
Soto Espinosa, Jesús. «Aplicaciones entre conjuntos finitos»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (► Aplicaciones: conceptos, tipos y propiedades).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (► Ejercicio 2: Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación natural de variable natural).
Soto Espinosa, Jesús. «Aplicaciones. Ejercicio 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (► Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación entera de variable matricial real).
Soto Espinosa, Jesús. «Aplicaciones. Ejercicio 2»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (► Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación real de variable matricial real).
Soto Espinosa, Jesús. «Aplicaciones. Ejercicio 3»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (► Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación natural de variable entera, definida por casos).
— Conjuntos
Baugher, Greg A. «Section 2.1 The Basics of Sets»(Vídeo). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
Baugher, Greg A. «Section 2.2 Set Operations»(Vídeo). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
Krithivasan, Kamala. «Lecture 10 - Sets»(Vídeo). Indian Institute of Technology Madras.
—¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5.ª edición. (Secciones 3.2.5, 3.3, 3.4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
—¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7.ª edición. (Secciones 2.5, 5.1, 5.2, 5.3 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
The Continuum Hypothesis (la página web «oficial» de la hipótesis del continuo, en Infinity Ink [Nancy McGough, 1992]). Disponible en: http://www.ii.com/math/ch/
—¤— José García García y Manuel López Pellicer. Álgebra lineal y geometría. Curso teórico-práctico. 7.ª edición. Marfil, Alcoy, España. ISBN: 84-268-0269-9.
Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications. Edición global en inglés / English Global Edition, 2013, 7.ª / 7th Ed., ISBN-13: 978-0-07-131501-2 (adaptada por / adapted by: Kamala Krithivasan). (Capítulo 12: «Algebraic Structures and Coding Theory»; diapositivas: <http://highered.mheducation.com/sites/0071315012/student_view0/lecture_powerpoint_slides.html>).
—¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5.ª edición. (Secciones 2.4, 2.5, 2.6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
—¤— Thomas Koshy. Elementary number theory with applications. Academic Press (marca de Elsevier Inc.), Nueva York, Estados Unidos, 2.ª edición, 2007, ISBN: 978-0-12-372487-8
—¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7th edition. (Capítulo 4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Kenneth A. Rosen. Elementary number theory and its applications. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, Estados Unidos, 1986, ISBN0-201-06561
Soto Espinosa, Jesús. «Algoritmo de la división»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Números primos, ejemplo 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Números primos, ejemplo 2»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Números primos, ejemplo 3»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Números primos, ejemplo 5»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Infinitud de los números primos»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Teorema fundamental de la aritmética»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Máximo común divisor»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Máximo común divisor, ejemplo 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Máximo común divisor, ejemplo 2»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Máximo común divisor, ejemplo 3»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Máximo Común Divisor, ejemplo 4»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Algoritmo de Euclides»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM).
— Identidad de Bézout
Soto Espinosa, Jesús. «Identidad de Bézout»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Identidad de Bézout, ejemplo 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Identidad de Bézout, ejemplo 2»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
— Aritmética modular. Función φ de Euler
Soto Espinosa, Jesús. «Función φ de Euler»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Función φ de Euler, propiedad 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Función φ de Euler, propiedad 2»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
— Ecuaciones diofánticas
Hervás Jorge, Antonio. «Ecuaciones diofánticas»(Vídeo). Universidad Politécnica de Valencia (UPV).
Soto Espinosa, Jesús. «Ecuación diofántica»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Restos potenciales»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Restos potenciales, propiedades y ejercicios).
Soto Espinosa, Jesús. «Restos potenciales. Ejercicio 1»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Cálculo del resto de la división de un número en forma de potencia por otro número).
Soto Espinosa, Jesús. «Restos potenciales. Ejercicio 2»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Cálculo del resto de la división de un número enorme en forma de potencia por otro número).
Soto Espinosa, Jesús. «Restos potenciales. Ejercicio 3»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Cálculo del resto de la división de un número enorme en forma de potencia por otro número).
Soto Espinosa, Jesús. «Restos potenciales. Ejercicio 4»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Cálculo de las dos últimas cifras de un número enorme expresado en forma de potencia).
— Criterios de divisibilidad
Soto Espinosa, Jesús. «Criterios de divisibilidad»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Criterio general de divisibilidad, ejemplos y ejercicios).
Soto Espinosa, Jesús. «Criterios de divisibilidad. Ejercicio 1»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 5 en base 9).
Soto Espinosa, Jesús. «Criterios de divisibilidad. Ejercicio 2»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 12 en base 10).
Soto Espinosa, Jesús. «Criterios de divisibilidad. Ejercicio 3»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 6 en base 10).
Soto Espinosa, Jesús. «Criterios de divisibilidad. Ejercicio 4»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 6 en base 8).
Soto Espinosa, Jesús. «Criterios de divisibilidad. Ejercicio 5»(Vídeo). Universidad Católica de Murcia (UCAM). (► Cálculo del resto de la división de un número enorme en forma de potencia por otro número).
- II: Agrupamiento de unidades (distribución, almacenamiento o colocación de objetos en recipientes) (Cuestiones de ocupación de recipientes por objetos)
I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sánchez Navas and C. Valero Franco. Estadística Descriptiva y Probabilidad. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz (Apéndice 1: Combinatoria). 2006. (GNU FDL). http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/lib_edyp.apendices.pdf
—¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5.ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
—¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7.ª edición. (Capítulos 6 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Soto Espinosa, Jesús. «Número binomial»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Número binomial, ejercicio 2»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Número binomial, ejercicio 3»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Número binomial, ejercicio 5»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Número binomial, fórmula de Stifel»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Coeficiente Multinomial, ejercicio 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Teorema del binomio»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Fórmula de Leibniz»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
— Principios fundamentales de recuento
Soto Espinosa, Jesús. «Principios básicos de conteo»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). (Ejercicio 3).
— Operaciones combinatorias básicas
Soto Espinosa, Jesús. «Variaciones»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Variaciones con repetición»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Permutaciones»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Permutaciones, ejemplo 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Permutaciones circulares»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Permutaciones con repetición»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinaciones»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinaciones con repetición»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinatoria, ejemplo 6»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinatoria, ejemplo 7»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinatoria, ejemplo 8»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinatoria, ejemplo 9»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinatoria, ejemplo 10»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Combinatoria, ejemplo 11»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
— Principio de inclusión-exclusión
Soto Espinosa, Jesús. «Principio de inclusión-exclusión»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Generalización del principio de inclusión-exclusión»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Principio de inclusión-exclusión - Ejemplo 1»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Desarreglos»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Contando desarreglos»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
— Particiones de conjuntos (modelización 3.ª)
Soto Espinosa, Jesús. «Particiones. Número de Bell»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Número de Stirling de segunda clase»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Soto Espinosa, Jesús. «Ejercicios»(Vídeo). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
— Principios fundamentales de recuento
Baugher, Greg A. «Section 6.1 The Basics of Counting»(Vídeo). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
Krithivasan, Kamala. «Lecture 27 - Pigeonhole Principle»(Vídeo). Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India: Indian Institute of Technology Madras.
Krithivasan, Kamala. «Lecture 30 - Generating Functions»(Vídeo). Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India: Indian Institute of Technology Madras.
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]
En español:
En inglés:
Javier Cobos Gavala. Apuntes de introducción a la matemática discreta. (E.T.S. de ingeniería informática, Universidad de Sevilla). http://ma1.eii.us.es/material/IMD_ii_Ap.pdf
—¤— Richard Johnsonbaugh. Matemáticas discretas. 6.ª edición. (Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). Pearson Educación de México, S.A. de C.V., Naucalpan de Juárez, Edo. de México, México, 2005, ISBN 970-26-0637-3
—¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5.ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
Enrique Vílchez Quesada. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes constantes a través de valores y vectores propios. Uniciencia, 24, 2010, pp. 121-132. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381351
Richard Johnsonbaugh. Discrete mathematics. 6.ª edición. (Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). Prentice Hall Inc., Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2005, ISBN 0-13-117686-2
—¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7.ª edición. (Capítulos 5 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Krithivasan, Kamala. «Lecture 32 - Recurrence relations»(Vídeo). Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India: Indian Institute of Technology Madras.
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]
En español:
En inglés:
—¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5.ª edición. (Capítulos 8 y 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
—¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7.ª edición. (Capítulos 10 y 11 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Soto Espinosa, Jesús. «Matemática discreta»(Colección de vídeos). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Krithivasan, Kamala. «Lecture 14 - Graphs»(Vídeo). Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India: Indian Institute of Technology Madras.
Krithivasan, Kamala. «Lecture 15 - Graphs (cont.)»(Vídeo). Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India: Indian Institute of Technology Madras.
Martín Barreiro, Carlos. «El problema de la interpolación lineal»(Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
— Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas
Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Lagrange»(Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Lagrange. Ejemplo»(Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
— Interpolación polinómica de Lagrange
Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Newton»(Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Newton. Ejemplo»(Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
— Interpolación
Kaw, Autar. «Primer on interpolation»(Vídeo). Tampa, Florida (US-FL), EUA: University of South Florida (USF).
— Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas
Martín Barreiro, Carlos. «Análisis numérico»(Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
Soto Espinosa, Jesús. «Momentos de ciencia»(Colección de vídeos). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Más multimedia de los autores referidos y de otros[editar]
En español:
En inglés:
Hervás Jorge, Antonio. «Colección de vídeos». Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: Universidad Politécnica de Valencia (UPV).
Jordán Lluch, Cristina. «Colección de vídeos». Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: Universidad Politécnica de Valencia (UPV).
Martín Barreiro, Carlos. «Análisis numérico»(Curso). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL).
Rodríguez Álvarez, María José. «Colección de vídeos». Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: Universidad Politécnica de Valencia (UPV).
Soto Espinosa, Jesús. «Colección de vídeos». Unidad Central de Informática / Escuela Politécnica Superior. Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM).
Baugher, Greg A. «Canal de YouTube de Greg A. Baugher»(Colección de videos). Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University. Georgia (US-GA), EUA.
Herke, Sarada. «Spoonful of Maths»(Collección de vídeos). School of Mathematics and Physics, Universidad de Queensland. Brisbane, Queensland (AU-QLD), Mancomunidad de Australia.
Olson, Glenn R. «Number Theory»(Colección de vídeos). Maine East High School. Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA.
Olver, Brandon. «Canal de YouTube de Brandon Olver»(Colección de vídeos). Ballarat Grammar. Wendouree, Ballarat, Victoria (AU-VIC), Mancomunidad de Australia.
Polster, Burkard. «Mathologer»(Colección de vídeos). Monash University. Melbourne, Victoria (AU-VIC), Mancomunidad de Australia.
«Es indiscutible que cuanto más se esfuerce individualmente el estudiantado, más a fondo aprenderá lo estudiado». Timothy J. Fitikides: Common mistakes in English, Longmans, 6.ª edición, 2000, p. vii.
Los siguientes ejercicios con solución son ejemplos de posibles cuestiones de examen.
Usted debería poder resolver cualquiera de ellos en un máximo de 30 minutos.
Es muy importante que tenga en cuenta que en un examen pueden plantearse cuestiones sobre cualquiera de los diferentes temas trabajados en clase, teóricas (incluyendo demostraciones vistas de teoremas) o prácticas.
La concreción de las cuestiones que aparecen en los ejemplos siguientes, no implica, en ningún caso, un recorte de los contenidos a estudiar.
A la hora de solucionarlas, el rigor debe ser el centro de atención.
Muestre qué hace y cómo lo hace.
No simplifique sus respuestas, exponga su trabajo en forma legible, mostrando todos los pasos intermedios, procurando asegurar que sus argumentos sean claros y lógicamente sólidos.
Identifique o defina, cualesquiera variables y notación que emplee; explique también cómo resuelve cada cuestión a la par que lo hace, por ejemplo, enunciando claramente cualquier teorema o resultado que use; la claridad, la limpieza y la organización cuentan.
Una vez considere que ha resuelto un ejercicio, puede contrastar su trabajo con nuestra resolución (no obstante, tenga en cuenta la posibilidad de que la solución pueda alcanzarse por caminos alternativos correctos).
Importante si usted participa en MATDIN (el proyecto de aprendizaje en Wikipedia): Considere también que estos ejercicios le pueden ayudar a encontrar ejemplos o casos de uso para ilustrar sus contribuciones al proyecto.
Las resoluciones de estos ejercicios aparecen revisadas y posiblemente corregidas y aumentadas en el texto básico, las notas incompletas de clase (NCI):
Cuestión L1. (2,5 puntos).
En la isla de la personas veraces y falaces(en) hay dos clases de habitantes, las personas «veraces», que siempre dicen la verdad y las «falaces», que siempre mienten. Se supone que cualquier habitante de la isla es, o bien una persona veraz, o bien una persona falaz. Sean ahora dos habitantes, y , de pie en el jardín delantero de una casa. Usted, que pasaba por allí, les preguntó: «¿Son ustedes personas veraces o falaces?»
a) contestó: «Si es una persona veraz, entonces yo soy falaz». ¿Puede determinar si y eran personas veraces o falaces? (1.25 p.)
b) Seguidamente, dijo: «No crea a ; miente». Con esta nueva información, ¿puede determinar si y eran personas veraces o falaces? (1.25 p.)
Solución:
Usemos en vez de « es una persona veraz» ---por tanto, significa « es una persona falaz»---.
a) La afirmación de , «Si es una persona veraz, entonces yo soy falaz», se formaliza como y el hecho de que lo diga, como . A la vista de la tabla de verdad:
el único modelo para es la 2.ª interpretación, por tanto puede determinarse que es una persona veraz y falaz.
b) La afirmación de , «No crea a ; miente», es equivalente a « es una persona falaz», que se formaliza como y el hecho de que lo diga como , que lo único que dice es que y no pueden ser ambas veraces ni ambas falaces, lo que no nos aporta nada nuevo, como era de esperar al estar ya determinado. En efecto, a la vista de la tabla de verdad:
observamos que todo sigue igual, de nuevo la 2.ª interpretación es un modelo, ahora para .
Cuestión L2. (2,5 puntos).
Con la ayuda de la lógica de juntores, demuestre si el siguiente argumento es o no válido: «Este programa compilará siempre que hayamos declarado las variables. Eso sí, declararemos las variables precisamente si no se nos olvida hacerlo. Resulta que el programa no ha compilado. Entonces es que hemos olvidado declarar las variables». Importante: No lo haga por el método de las tablas de verdad.
Cuestión L3. (2,5 puntos).
a) Defina conjunto adecuado de conectivas (cac), también llamado conjunto completamente expresivo o funcionalmente completo de conectivas.
b) Proporcione dos ejemplos de cac de cardinal dos, razonando por qué lo son, suponiendo conocido el cac de las cinco conectivas más usuales .
Solución:
a) En Lógica de juntores, un conjunto adecuado de conectivas (cac) es cualquier conjunto de conectivas tal que todas las conectivas de la lógica puedan representarse en función, únicamente, de las del conjunto.
b) Como dice el enunciado de la cuestión, suponemos conocido que el conjunto de las conectivas más usuales, es un cac. Dos ejemplos, de cardinal dos, de cac son los conjuntos y . En efecto, y para su demostración basta ver que de las cinco conectivas del cac conocido, las que faltan en cada uno de los cac de cardinal dos pueden representarse solamente con ellas:
Cuestión L4. (2,5 puntos).
En un monte hay animales, los cuales tienen o dos o cuatro patas. Una persona del lugar le dice: «Al menos uno de los animales tiene dos patas, y dado cualquier par de animales, al menos uno de los dos tiene cuatro patas».
a) Formalice en el lenguaje de la lógica de cuantores lo que le han dicho.
b) ¿Cuántos animales hay de dos y de cuatro patas?
Solución:
Considerando como universo de discurso el conjunto de los animales en dicho monte, sean:
a) ;
b)
La traducción de (0) y (14) al español es: (0) existe un animal de dos patas y (14) no existe ninguna pareja en la que ambos tengan dos patas. Esto implica que solo hay un animal de dos patas y, por tanto, 76 de cuatro patas.
Cuestión L5. (2,5 puntos).
Traducido de: Lewis Carroll, Symbolic Logic: Part I. Elementary (Macmillan, 1896), pág. 118. Dominio Público.
40.
0) Ningún gatito que gusta del pescado es indomesticable;
1) Ningún gatito sin cola jugará con un gorila;
2) A los gatitos con bigotes les gusta el pescado;
3) Ningún gatito domesticable tiene ojos verdes;
4) Ningún gatito tiene cola a menos que tenga bigotes.
Universo = «gatitos»; A = gusta del pescado; B = ojos verdes; C = con cola; D = domesticable; E = con bigotes; H = jugará con un gorila.
Usted debe:
a) Formalizar en lógica de cuantores todas estas afirmaciones.
b) En el universo de los gatitos y usando lógica de cuantores, deducir la única conclusión que se sigue de estas afirmaciones y que hace que el argumento sea válido.
c) Traducir su respuesta simbólica a español.
Solución:
Considerando como universo de discurso el conjunto de los gatitos, sean pues:
a) 0) ;
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
b)
c) Ningún gatito de ojos verdes jugará con un gorila.
Cuestión L6. (2,5 puntos).
Formalice en el lenguaje de la lógica de cuantores:
a) «Todo que sea , también es ».
b) «Si cualquier es , entonces también es ».
c) «No hay nada que sea o y no sea ».
Solución:
a) .
b) Puede reescribirse como «si cualquier es , entonces también cualquier es », por tanto, . ¡Cuidado!, pero .
c) . O con otras palabras, «si algo es o entonces es », esto es, .
a) Proponga tres conjuntos, y , tales que , y . (0,5 puntos).
b) Según una encuesta realizada al estudiantado, resulta que ante dos asignaturas igualmente interesantes por sus contenidos, prefieren una a otra si el tiempo dedicado a su estudio es menor y prevén obtener una calificación mayor en el examen. En el caso de igualdad de tiempos y de previsiones, les son indiferentes. Estudie las propiedades de esta relación binaria. (2 puntos).
b) ¿Tiene estructura de grupo abeliano? (Puede razonar utilizando la tabla de la operación).
Solución:
a) He aquí la tabla de Cayley de la operación sobre :
b) Comprobemos si se satisfacen las exigencias para que sea grupo abeliano:
a) es cerrado para (también decimos que es una operación o ley de composición interna en ) pues para cualesquiera y en , . Razonar a partir de la tabla es sencillo: todos los números que aparecen son elementos de .
b) es asociativa en —podrían comprobarse todas las tríadas, , etc., pero resulta más fácil razonar a partir de la asociatividad del producto de números naturales: simplemente, , es cierto ya que en los productos entre naturales, al multiplicar unidad por unidad no hay que sumar ningún acarreo—;
c) es conmutativa (la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal);
d) el elemento neutro para en es como se observa al ser la primera fila y la primera columna iguales al encabezamiento horizontal y vertical, respectivamente;
e) no todo elemento es simetrizable —en la tabla, para un número determinado, solo hay que buscar qué otro número operado con él da el neutro (p. ej., el inverso de es porque )—: el simétrico del es el , el del , el , el del , el y el del , el , pero el no tiene simétrico —cualquiera de los otros números operado con es (se dice que es un elemento absorbente para en [como el cero para el producto de enteros]) y por tanto es imposible que resulte el neutro—.
En definitiva, no tiene estructura de grupo abeliano (la tiene de monoide abeliano).
Cuestión C1. (2,5 puntos).
Demuestre, por definición, que es un conjunto infinito.
Solución:
Un conjunto es infinito precisamente si existe una biyección entre él y un subconjunto propio suyo (definición de Dedekind). Sea, por ejemplo, , definida por . Veamos que es una aplicación biyectiva. En efecto:
es aplicación , lo cual es trivial, ya que dado , por definición de , existe , siendo este único para cada , es decir, que si , por definición de , ;
es inyectiva , lo cual es trivial por definición de , pues si , es decir, si , entonces, ;
es sobreyectiva , lo cual también es trivial por definición de , ya que dado , es tal que .
Cuestión C2. (2,5 puntos).
Sabiendo que (enteros) es un conjunto numerable y que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, demuestre que (racionales) es numerable.
Solución:
es numerable pues lo podemos expresar como la unión numerable (por hipótesis, conocemos que la unión numerable de numerables es numerable), donde cada es numerable, ya que , definida por y es una biyección, por lo que tiene el mismo cardinal que (y por hipótesis, sabemos que es numerable). Obsérvese que cada conjunto representa todos los números racionales que tienen el mismo denominador .
Cuestión C3. (2,5 puntos).
Sea un conjunto numerable y sea . Demostrar que es un conjunto numerable.
Solución:
Por definición de conjunto numerable, como lo es, existe una biyección . Sea , definida por , si y por , si , esto es, la correspondencia se define en dos subdominios, en como la correspondencia constante , aplicación biyectiva, y en como , también biyectiva, y como dichos subdominios son disjuntos y sus imágenes, y , también, se tiene que es biyectiva.
Cuestión TN1. (2,5 puntos).
Use la teoría de relaciones de congruencias para responder.
a) Demuestre que es divisible por , para cualquier . (1.25 p.)
b) Calcule el resto de dividir entre , para cualquier . (1.25 p.)
Solución:
Usemos la teoría de relaciones de congruencias.
a) Por un lado:
Por otro:
Sustituyendo en :
lo que por definición de relación de congruencia, significa que es divisible por .
b) Por un lado:
Por otro:
De y , sumando miembro a miembro:
En otras palabras, el resto pedido es .
(i) Por simétrica y transitiva de la relación de congruencia. (ii) Elevando a ambos miembros. (iii) Multiplicando por ambos miembros. (iv) Multiplicando por cada miembro. (v) Elevando a cada miembro.
Restos potenciales y criterios de divisibilidad[editar]
Cuestión TN3. (2,5 puntos).
Una empresa gastó euros en dispositivos electrónicos, algunos de última generación y máximas prestaciones. Compró teléfonos inteligentes a euros, tabletas a y portátiles a . ¿Cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Encuentre la solución utilizando la teoría de las ecuaciones:
a) diofánticas;
b) en congruencias.
Solución:
Traducida la información del enunciado a un sistema de ecuaciones lineales y simplificado este último:
a) Una ecuación diofántica lineal tiene solución precisamente si . En tal caso, una solución particular de la ecuación es:
donde y y son los coeficientes de y en la combinación lineal igual a (identidad de Bèzout). La solución general de dicha ecuación es:
donde es una solución particular y .
El siguiente cuadro muestra la utilización del algoritmo extendido de Euclides para el caso que nos ocupa. La computación para cuando el resto es cero (en color rojo). El resto anterior, (en color rojo), es el máximo común divisor. Los coeficientes de Bézout son y (en color magenta). Los números en cian, y , sin considerar el signo, son los cocientes de los originales entre el máximo común divisor.
índice i
cociente qi−1
resto ri
si
ti
0
99
1
0
1
19
0
1
2
99 ÷ 19 = 5
99 − 5 × 19 = 4
1 − 5 × 0 = 1
0 − 5 × 1 = −5
3
19 ÷ 4 = 4
19 − 4 × 4 = 3
0 − 4 × 1 = −4
1 − 4 × (−5) = 21
4
4 ÷ 3 = 1
4 − 1 × 3 = 1
1 − 1 × (−4) = 5
−5 − 1 × 21 = −26
5
3 ÷ 1 = 3
3 − 3 × 1 = 0
−4 − 3 × 5 = -19
21 − 3 × (−26) = 99
Por tanto, una solución particular es:
y la solución general es:
con .
Ahora bien, ¿cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Veamos. Sabemos que y que . Por tanto, y , de donde y . Como , . Sustituyendo, obtenemos: , y .
Sol.: teléfonos, tableta y portátiles.
b) Vista como una ecuación en congruencias, puede ser:
O lo que es equivalente:
Como , este camino nos lleva a que son posibles soluciones todos los múltiplos positivos de menores que : .
Probemos otro camino. La ecuación diofántica también tiene otra vista como ecuación en congruencias:
O lo que es equivalente:
Como , tiene una solución única , que es:
esto es,
Explorando los residuos potenciales, encontramos que:
de donde, multiplicando esta congruencia seis veces, miembro a miembro:
y al ser transitiva la relación de congruencia:
Es decir, (ya que ).
Como , obtenemos que .
Finalmente, de , tenemos que .
Sol.: teléfonos, tableta y portátiles.
Cuestión TN4. (2,5 puntos).
¿Cómo podríamos distribuir litros de agua en un total de recipientes varios, de , y litros? Responda utilizando la teoría de las ecuaciones diofánticas.
Solución:
Representando por , , , los números de recipientes usados de , y litros, respectivamente, el enunciado se traduce en las ecuaciones: y . Restando de la segunda ecuación la primera, se tiene la ecuación diofántica: . Como , dicha ecuación diofántica tiene solución entera. Como , los coeficientes de Bézout son y . Una solución particular es: , . La solución general es: , , con . Suponiendo que en la solución interviene al menos un recipiente de cada tipo, se tiene que . Sustituyendo en estas últimas la solución general encontrada, se tiene, por un lado, que: , de donde , por lo que y, por tanto, , y por otro lado, que: , de donde , por lo que , esto es, y, por tanto, . Se tiene, pues, que . Sustituyendo en la solución general, y , por lo que .
Sol.: Suponiendo que al menos debe llenarse un recipiente de cada tipo, se emplean recipientes de litro, de litros y de litros. (Si no se supusiese tal cosa, habría otra solución: de litro, de litros y de litros. [Compruébese]).
Cuestión TN5. (2,5 puntos).
Abigail quiere enviar a Balbina el mensaje más simple de llamada: eh. Solo puede transmitir números. Abigail y Balbina usan la posición de las letras en el alfabeto para codificarlas (así, Abigail codifica e como 06 y h como 08). Para cifrar y descifrar el mensaje, utilizarán RSA. Si Abigail elige como base para RSA, los primos y :
a) póngase en el papel de Abigail y obtenga el mensaje cifrado que debe enviar a Balbina;
b) póngase en el papel de Balbina y descifre el mensaje cifrado que Abigail le ha enviado.
Solución:
Sigamos los pasos del procedimiento RSA:
1) , .
2) .
3) (phi de Euler de ).
4) Hemos de elegir como clave secreta () un número coprimo con y menor que ; elegimos .
5) La relación entre la clave secreta y la pública () es , en este caso: , por lo que .
6) El mensaje (eh) codificado es 0608. Se puede demostrar que si el mensaje codificado , es tal que , entonces el mensaje cifrado , también es tal que . Como interesa codificar, después cifrar, a continuación descifrar y por último, decodificar, hemos de agrupar en bloques tales que su codificación individual sea menor o igual que . Sean y e e los respectivos bloques ya cifrados. De acuerdo al método RSA, el cifrado de se lleva a cabo solucionando la ecuación en congruencias y el descifrado de solucionando la ecuación .
Respondamos ahora a los dos apartados de la cuestión.
a) Pongámonos ahora en el papel de Abigail y obtengamos el mensaje cifrado que debemos enviar a Balbina. Cifremos : la solución de es . Cifremos : la solución de es . Así, el mensaje que debemos enviar es: 0608.
b) Pongámonos ahora en el papel de Balbina y descifremos el mensaje cifrado que Abigail nos ha enviado. Descifremos : la solución de es . Descifremos : la solución de es . Así, el mensaje que acabamos de descifrar es: 0608.
Cuestión TC1. (2,5 puntos).
Sea el conjunto de los dígitos decimales, esto es, . Calcule:
a) El número de subconjuntos de cuyos elementos son todos números primos.
b) El número de subconjuntos de que tienen un número primo de elementos.
Solución:
a) Siendo , lo que se pide es en realidad el número de subconjuntos no vacíos de , esto es, restando uno (el conjunto vacío) al número total de subconjuntos de :
Sol.: subconjuntos.
b) El número total de subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos viene dado por . Por tanto, recorriendo los elementos de que son primos:
Sol.: subconjuntos.
Cuestión TC2. (2,5 puntos).
Un grupo de doce personas visita un museo. Todas llevan abrigo de lana. Al entrar, los dejan en el guardarropa. Al salir, la persona encargada del guardarropa pone sobre el mostrador los doce abrigos. Completamente distraídas por una conversación muy interesante, cada persona del grupo coge uno al azar. Emplee un razonamiento combinatorio para determinar de cuántas formas puede ocurrir que nadie haya cogido su abrigo.
Solución:
Se trata de encontrar el número de desórdenes de objetos. En vez de para , vamos a calcularlo para . Sea . Siendo el conjunto de todas las permutaciones y el conjunto de todos los desórdenes que fijan elementos, entonces, el conjunto de todos los desórdenes es:
Veamos:
¿Cuántas permutaciones fijan un número concreto? Pues las permutaciones del resto, , o sea, y como hay números, son las permutaciones que fijan un número cualquiera.
¿Cuántas permutaciones fijan dos números concretos? Pues las permutaciones del resto, , o sea, y como hay formas de elegir dos números distintos entre , son las permutaciones que fijan dos números cualesquiera.
Observemos que en el caso , esto es, , al restar las que fijan el , se resta una vez las que fijan el y el y al restar las que fijan el se resta otra vez las que fijan el y el , por lo que hay que sumarlos una vez. Si seguimos este análisis, el número de permutaciones que no conserva ningún número en su lugar (desórdenes) es:
Así, para el caso de ser , existen:
desórdenes. Sol.: De formas.
Cuestión TC3. (2,5 puntos).
Una urna contiene siete bolas numeradas del uno al siete. Las bolas se extraen todas, de una en una y sin reposición. A la par de las extracciones, se escriben las cifras resultantes por orden de salida y de izquierda a derecha. Razone con argumentos combinatorios cuántos números así formados empiezan y terminan por cifra par.
Solución:
Hay posiciones. En los extremos, las hipótesis obligan cifra par. Hay tres cifras pares entre y : , y . Guiándonos por los modelos de distribuciones de objetos en recipientes, pensemos en estos números (cajas distinguibles) y en los dos extremos (objetos distinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (como mucho un extremo por número, ya que no hay bolas con el mismo número). Para cada uno de estos casos en los extremos (cada una de las variaciones) hay que tener en cuenta todas las posibilidades en las posiciones intermedias. Estas posibilidades son las permutaciones de elementos (una nueva abstracción como objetos distinguibles [las posiciones intermedias] en recipientes distinguibles [los números , y y el par no presente en los extremos], esta vez siendo biyectiva la aplicación). Aplicando el principio del producto:
Sol.: números.
Cuestión TC4. (2,5 puntos).
En una reunión de diecisiete personas se realiza una votación secreta. Dos personas han emitido un voto nulo, tres un voto en blanco, cinco han votado en contra y siete a favor. Razone con argumentos combinatorios de cuántas formas ha podido suceder esto.
Solución:
Utilicemos el modelo de distribuciones no ordenadas de bolas en cajas, representando las bolas y las cajas a los votos y las personas, respectivamente. Pensemos en las personas (cajas distinguibles) y los votos síes (bolas indistinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (no más de un voto por persona) —alternativamente, podemos pensar en el número de subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos—. De cualquier forma, resultan maneras de distribuir los votos síes en las cajas. Para cada uno de los casos (cada una de las combinaciones), quedan cajas vacías. Ahora, razonando similarmente, hay formas de distribuir los votos noes en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, cajas vacías. Análogamente, hay maneras de distribuir los votos en blanco en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, cajas vacías, por lo que hay formas de colocar los votos nulos en las cajas. Aplicando el principio del producto:
Sol.: De formas.
Cuestión TC5. (2,5 puntos).
Emplee un razonamiento combinatorio para responder.
a) Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En base diez, ¿cuántos números de siete cifras son capicúas? (1.25 p.)
b) Supongamos una red en forma de polígono de nodos (vértices). Calcule , sabiendo que el número de aristas (lados + diagonales) es . (1.25 p.)
Solución:
a) Un número capicúa de siete cifras es de la forma , con . Para , hay posibilidades, para , , para , y para , otras . Por el principio multiplicativo, en total: .
b) Siendo el número de nodos, el número de aristas es el número de subconjuntos de dos elementos (cada arista al unir dos nodos, puede abstraerse como un subconjunto de dos elementos) de un conjunto de elementos (los nodos), esto es, por definición de combinación, . Entonces: . Por tanto, .
Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes)[editar]
Cuestión RR1. (2,5 puntos).
En , se define la suma de dos naturales y :
Demuestre que la solución de esta recurrencia es .
Solución:
Observemos que es ajena a la recursión. Así, de una manera más sencilla pero equivalente, denotando por , estamos ante una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes, con función constante en el segundo miembro de la igualdad:
a) Solución general de la homogénea:
El polinomio característico es:
por lo que, es raíz característica simple.
La solución general de la homogénea es:
b) Solución particular de la no homogénea:
Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
pero al ser una contradicción, nos obliga a aumentar el grado. Intentémoslo con el polinomio de grado uno, . Sustituyendo:
Así:
es una solución particular de la no homogénea.
c) Solución general de la no homogénea:
d) Incorporación de las condiciones iniciales:
Se sabe que . Por tanto:
Sustituyendo en (1), obtenemos la solución buscada:
es decir:
Cuestión RR2. (2,5 puntos).
Sean e los números totales de software malicioso pertenecientes a dos tipos de malware, en la hora , que coexisten en una cierta red de área extensa (wide area network, WAN) sometida a control horario de evolución de malware. Supongamos que las poblaciones iniciales eran e y que la evolución de la coexistencia sigue la regla:
cada hora, el crecimiento del malware de tipo es la suma del triple del crecimiento de en la hora anterior y del crecimiento de también en hora anterior más siete nuevos malware (que son clasificados como de tipo ),
y también cada hora, el crecimiento del malware de tipo es el resultado de restar el crecimiento de en la hora anterior del crecimiento de en la hora anterior, más tres nuevos malware (que son clasificados como de tipo ).
Encuentre y resuelva el sistema de ecuaciones de recurrencia correspondiente a la evolución del malware.
Solución:
Analicemos la evolución del malware en función del crecimiento del mismo (el enunciado no especifica que sea en función de las poblaciones y así es más sencillo al disminuir en una unidad de tiempo el orden de la relación de recurrencia). Denotemos por e los crecimientos desde la hora a la hora , o sea, e . El sistema de ecuaciones recurrentes lineales correspondiente a la situación que se plantea es:
a) Cálculo de :
De la primera ecuación:
Sustituyendo (2) en (4):
Sustituyendo (3) en esta última, simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes y con función constante en el segundo miembro de la igualdad:
a.1) Solución general de la homogénea:
El polinomio característico es:
es decir:
así, es raíz característica doble.
La solución general de la homogénea es:
a.2) Solución particular de la no homogénea:
Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
por lo que . Así:
es una solución particular de la no homogénea.
a.3) Solución general de la no homogénea:
b) Cálculo de :
Sustituyendo (5) en (1), simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos:
c) Incorporación de las condiciones iniciales:
Se sabe que y . Por tanto:
Por otro lado:
de donde, sustituyendo (6) en (7):
d) Solución del caso planteado (evolución del malware en función del crecimiento del mismo):
donde e son las poblaciones de ambos tipos de malware al finalizar la primera hora (datos no proporcionados en el enunciado).
Cuestión G1. (2,5 puntos).
El grafo adjunto representa las conexiones entre cuatro estaciones de tranvía. Se pide que usted:
a) Escriba la matriz de adyacencia de dicho grafo.
b) Interprete las matrices y (razone qué situaciones representan).
c) Razone, a partir de tales representaciones matriciales, si dicho grafo es o no fuertemente conexo.
d) Razone, a partir de dichas representaciones matriciales, cuál es la longitud del camino más corto desde a y cuántos pueden considerarse los «más cortos».
Formalizamos la matriz de adyacencia del grafo, haciendo correspoonder los subíndices posicionales , , y de sus elementos a las etiquetas , , y , de forma que, por ejemplo, corresponde a una posible trayectoria de a , . De esta forma, cada elemento de indica el número de conexiones directas ---sin paradas intermedias (caminos de longitud uno en el grafo)--- entre las estaciones de tranvía correspondientes a y , en el sentido . Así, se interpreta como la existencia de una conexión directa de a , , esto es, , mientras que corresponde a la no existencia de una conexión directa de a , , esto es, .
b) Las potencias y de son:
Cada elemento de indica el número de conexiones con una estación intermedia (caminos de longitud dos en el grafo) desde la estación correspondiente a a la estación correspondiente a , según la formalización anterior. Similarmente, cada elemento de indica el número de conexiones con dos estaciones intermedias (caminos de longitud tres en el grafo) desde la estación correspondiente a a la estación correspondiente a , también según la formalización anterior.
c) Ser un grafo fuertemente conexo significa que existe un camino desde cualquier vértice a cualquier vértice. Por otro lado, dado un grafo , con vértices, puede saberse si existe algún camino desde el vértice al vértice , independientemente de la longitud, según sea el término de la matriz , ya que este da el número total de caminos desde a (si para algún y fuese , no existiría ningún camino desde a y el grafo no sería fuertemente conexo). El grafo que nos ocupa, , de vértices, sí es fuertemente conexo porque no tiene elementos nulos:
lo que significa que dos estaciones cualesquiera están conectadas, sea directamente o indirectamente con una o dos paradas intermedias. De hecho, para este grafo particular, tampoco tiene elementos nulos:
esto es, cualesquiera dos estaciones están conectadas por trayectorias con una o dos paradas intermedias.
d) Notando por el término de posición de la matriz , observamos que y , siendo este el primero distinto de cero, por lo que, camino más corto, solo hay uno y tiene dos paradas intermedias.
Mi intención es que haya dos exámenes preparatorios para practicar el examen final, uno a mitad de curso y otro al final —otros dos instrumentos de evaluación—. Dependiendo de la marcha de la asignatura, unos años se podrá, otros no. Estos exámenes serán similares al final en nivel, contenido y formato y se basarán en lo trabajado en clase hasta ese momento. Serán realizados en casa y deberían hacerse sin ninguna ayuda —libros, apuntes, etc.— y deberían durar dos horas —lo mismo que el examen final—. Esta «autoevaluación controlada» intenta: a) estimular su trabajo personal, b) detectar errores y debilidades y c) que salgan a la luz lagunas de comprensión, y por supuesto, d) corregirlos. Se dedicarán dos horas de grupo grande a su corrección, una para cada examen, en las que se compartirán ideas y soluciones. Estos exámenes están pensados para la preparación y el estudio. No van a ser calificados por el profesor y no se incluyen en el cómputo de la nota final. Comoquiera que el examen final es individual, le recomiendo que los haga individualmente y no en grupo, si bien la decisión final le corresponde a usted.
Las resoluciones de los exámenes aparecen revisadas y posiblemente corregidas y aumentadas en el texto básico, las notas incompletas de clase (NCI):
La actividad intermedia de cualificación de 10 de abril de 2018, que fue calificada, sirvió a su vez de primer examen preparatorio; basada en ejercicios/problemas, su resolución fue individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo de 2 h y 30 m.
Actividades de cualificación y exámenes reales anteriores con algunas soluciones[editar]
Los cuatro primeros años académicos, del 2016-2017 al 2019-2020, impartí la asignatura en español y en inglés, de ahí que los correspondientes a estos años sean documentos bilingües, en un formato de dos columnas, la izquierda con el texto en español y la derecha con el correspondiente texto en inglés.
Las resoluciones de los exámenes aparecen revisadas y posiblemente corregidas y aumentadas en el texto básico, las notas incompletas de clase (NCI):
Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 10 m.
La siguiente actividad y exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.
Actividad intermedia de cualificación, 10 de abril de 2018
La siguiente actividad y exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.
Actividad Intermedia de Cualificación, 10 de abril de 2019
Debido a la pandemia de la COVID-19, la evaluación final se sustentó en un examen para hacer en casa, no supervisado, de un tiempo máximo de dos semanas de duración, para cuya resolución pudo accederse libremente a cuantos recursos y material de apoyo necesarios se estimasen convenientes, y basado en el apoyo mutuo, en el que ayudar es aceptable —no así la copia, el engaño, el plagio y cualquier otra forma de deshonestidad académica—, siempre reconociendo nominalmente dicha ayuda.
Examen Final Ordinario para hacer en casa, plazo desde las 00:00 CEST del 25 de mayo a las 23:59 CEST del 10 de junio, de 2020
Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.
Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.
Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.
Plan de estudios tentativo (cronograma para el año académico 2022-2023)[editar]
Importante: Recuerde que los ejercicios del libro de Rosen y los de muchos otros libros están publicados con todos los derechos reservados. Sin embargo, su estudio y trabajo son fuente inagotable de ideas para elaborar contribuciones a Wikipedia.
Este plan de estudios tentativo, correspondiente al plan docente aprobado (ficha12a) (†), es orientativo y dinámico (el desarrollo previsto de la asignatura puede variar en función de las particularidades del estudiantado implicado).
Clases de grupo grande (48 h) y de seminario/laboratorio (12 h)
Fechas
Temas y epígrafes
Lectura y estudio de textos básicos (Se recomienda su lectura previa a la asistencia a clase)
Sigue una selección de ejercicios, esencialmente instrumentales, de entrenamiento. No han de olvidarse los que se trabajan en las clases de grupo grande y en las de seminario/laboratorio. La concreción de estos ejemplos, no implica, en ningún caso, un recorte de los contenidos a estudiar. Se recomienda encarecidamente resolver ejercicios y otras cuestiones, cuantas más, mejor. Hay una más que suficiente bibliografía donde acudir.
Rosen 5.ª ed. España/EUA
Rosen 7.ª ed. EUA
Otros
Rosen 5.ª ed. España/EUA
Rosen 7.ª ed. EUA
Otros
Clase 0
(Presentación de la asignatura y de algunos conceptos iniciales)
Mar
31/1
(Comienzo de las clases)
+ Presentación de la asignatura y de algunos conceptos iniciales. + Asimismo, para el inicio de su estudio no presencial optativo, les recomiendo:
que lean sobre ¿qué es la matemática discreta? (¿qué es y por qué estudiarla?, ¿qué tipo de problemas resuelve?) (por ejemplo: Rosen 5.ª ed. España/EUA —pp. xxi-xxii—; Rosen 7.ª ed. EUA —pp. xviii-xx—);
a quienes les atraiga la simulación de la inteligencia, que aparentemente va a estar presente por todas partes, deberían tener en cuenta la importancia de la filosofía y en particular de la ética, por ejemplo:
una vez leída toda la información en dicha página, si a usted le interesa participar y sólo si tiene dudas o necesita ayuda para hacer lo que se dice en esa página web que haga o quiere ayudar al resto a hacerlo o quiere compartir cuestiones, inquietudes o sugerencias sobre el mismo, podría compartirlas en el foro de la asignatura en el campus virtual de la UEX, en el hilo de conversación dedicado.
Grupo B
Vie
3/2
Seminario/Laboratorio N.º 1: Pruebas y refutaciones, I
debería haberse registrado en Wikipedia en español si aún no lo estaba;
debería haberse unido al proyecto (apúntese en la tabla de personas participantes en la página de contribuciones del proyecto);
debería haber elegido los artículos de los que se hace responsable (seguir las indicaciones del esquema de trabajo del proyecto) —como mínimo, debe haber elegido un artículo correspondiente a los temas tratados en clase (en principio, el tema 1 [Fundamentos])— ; en cualquier caso, esta elección de artículos debe quedar recogida en su cuaderno de bitácora.
Grupo B
Vie
24/2
Grupo A
Lun
27/2
Seminario/Laboratorio N.º 4: Inducción y recursión
Repaso de examen: clase dedicada a compartir ideas y soluciones del examen preparatorio de mitad de curso (hecho como tarea en tiempo no presencial) (que se dedique este día depende de la marcha del desarrollo de la asignatura).
debería haber publicado, de manera continua, las contribuciones realizadas hasta la fecha, correspondientes a los temas tratados en clase (en principio, temas 1 [Fudamentos], 2 [Teoría de números] y 3 [Combinatoria]);
debería haber publicado la parte de su autoinforme sobre lo que ha desarrollado hasta el momento, en su cuaderno de bitácora (taller) y en la página de contribuciones del proyecto.
Seminario/Laboratorio N.º 12: Ecuaciones en diferencias, I
Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con enunciados verbales (word problems, en inglés), sobre ecuaciones en diferencias finitas.
(Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
§ 6.3.
(Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
§ 8.3.
(Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
Seminario/Laboratorio N.º 13: Ecuaciones en diferencias, II
Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con enunciados verbales (word problems, en inglés), sobre ecuaciones en diferencias finitas.
(Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas).
(Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas).
(Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
debería haber publicado, de manera continua, las contribuciones realizadas hasta la fecha, correspondientes a los temas tratados en clase (en principio, todos, temas del 1 al 4);
debería haber publicado la parte de su autoinforme sobre todo su trabajo, en su cuaderno de bitácora y en la página de contribuciones del proyecto;
desde este momento hasta la fecha de finalización de la componente académica, puede revisar todo lo que ha hecho, corregir errores menores y completar detalles pequeños.
Jue
11/5
Repaso de examen: clase dedicada a compartir ideas y soluciones del examen preparatorio de final de curso (hecho como tarea en tiempo no presencial) (que se dedique este día depende de la marcha del desarrollo de la asignatura).
Ex post I: Aula de Humanidades Juanelo Turriano (Segunda edición)[editar]
(Su concepción y primera edición, inédita, fue fruto del trabajo conjunto con el profesor Andoni Alonso Puelles; en ella nos hemos basado para construir la presente).
El Aula de Humanidades Juanelo Turriano no tuvo ni tiene el propósito de ofrecer una visión general de las humanidades sino de incidir en temas comunes, como el uso y el impacto recíproco de la ciencia y la tecnología en la sociedad desde el punto de vista humanístico (sin menoscabo del fomento de la lectura y de la interdisciplinariedad subyacentes), esto es, la convivencialidad de las Humanidades, la Ciencia, la Tecnología, la Sociedad, la Naturaleza y la Innovación, de modo que la persona científica o ingeniera conozca las demandas y repercusiones éticas y sociales de sus quehaceres, a la vez que disfrute y aprenda del encuentro con las personas autoras de dichas reflexiones y acciones.
Los libros, cuya lectura se propone, se han clasificado en diversos bloques temáticos. Esta estructura en bloques se ha pensado de tal manera que la lectura y reflexión sobre cada bloque se lleve a cabo, relajada, que no distraidamente, durante aproximadamente un año. Se recomienda que tras la lectura de cada libro, la persona interesada elabore un pequeño resumen del mismo y análisis critico y que busque fuentes documentales con las que contrastar sus conclusiones, a modo de toma de conciencia de lo leído y reflexionado. Asimismo, tras terminar todo un bloque, se sugiere que haga un trabajo similar sobre el conjunto.
Tras el encuentro con la persona autora a través de la obra propuesta, no ha de olvidarse explorar, lo más posible, el resto de su obra, para así obtener una visión en conjunto de su pensamiento.
Además del enriquecimiento personal, cultural y humanístico, que conlleva lo anterior, se invita a compartir lo aprendido y meditado,
contribuyendo a iniciativas del conocimiento libre como Wikipedia —quizás también en sus wikiproyectos—, Wikilibros, Wikiversidad o cualquiera de los otros proyectos de la fundación Wikimedia —por poner solo un ejemplo, a fecha de hoy (8 de noviembre de 2018) no existe ningún artículo en la Wikipedia en español sobre la obra El universo abierto de Popper (si bien sí sobre La sociedad abierta y sus enemigos y sobre La lógica de la investigación científica) y su lectura y reflexión y la de, por ejemplo, el ensayo del profesor Jorge Estrella, El universo abierto de Karl Popper, que aporta una visión global sobre la filosofía de Popper, podría servir de base para elaborar dicho artículo;
promoviendo encuentros, presenciales o en línea, para el debate y la discusión, de asistencia y participación libre y gratuita, sobre estos temas.
A continuación se relacionan los libros, clasificados en cada bloque. El orden en el que aparecen, desde el primero hasta el último, se piensa como el más conveniente para un mejor aprovechamiento de su lectura. Aparecen enlaces en rojo, significando como es habitual que dicho artículo, sea sobre un autor o una obra, no existe aún en la Wikipedia en español.
La transversalidad del conocimiento libre y de la actividad museística como conservadores coadyuvantes del patrimonio humanístico, científico, tecnológico y social me lleva a ello. En este artículo también se discuten las iniciativas WLA y GLAM-Wiki de la Fundación Wikimedia (vid. «Ideas de difusión», pp. 50ss.) —más sobre estas iniciativas en Outreach de Wikimedia.
Paul Bloom (en la Wikipedia en inglés: Paul Bloom), Contra la empatía: argumentos para una compasión racional (Against empathy: The case for rational compassion, 2016)
Para estar al tanto, saber más o escribir algún comentario[editar]
Siéntase libre de corregir cualquier error tipográfico que haya detectado en cualquiera de las páginas del plan o del proyecto (¡esto es Wikipedia!).
También serán recibidos con sumo agrado y agradecimiento toda la retroalimentación para hacerlo mejor la siguiente vez, esto es, todos los comentarios, impresiones, opiniones, sensaciones y consejos, deseos, sugerencias o propuestas sobre cómo mejorar esta iniciativa. La página de discusión del plan de aprendizaje es un lugar ideal donde escribirlas. Por favor, no dude en hacerlo. Significa mucho para este proyecto.
Juan Miguel León Rojas declara responsablemente que el plan de aprendizaje aquí especificado cumple con todos los requerimientos esenciales del plan docente (ficha12a) de la asignatura Ampliación de Matemáticas impartida en la Escuela Politécnica de la Universidad de Extremadura.
Acerca de esta página en la Wikipedia en español[editar]
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Información transversa 1.- Algo sobre Conocimiento libre y abierto
«Los verdaderos poemas del cante jondo no son de nadie, están flotando en el viento como vilanos de oro y cada generación los viste de un color distinto, para abandonarlos a las futuras».
.svg)
![{\displaystyle x\ast y={\sqrt[{3}]{x^{3}+y^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5552c30235b00c620611b2104bd683691406b812)
![{\displaystyle \left[0,18\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335c3d0a8963f52b74e77a8c9b614451b0b29a91)
![{\displaystyle \left[-9,9\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b616c8a1915d0d9849ebc177ee020437bcf51b6)
