Intersección de conjuntos

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La intersección de A y B es otro conjunto A B que contiene sólo los elementos que pertenencen tanto a A como a B.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :

P = \{2, 4, 6, 8 ,10, \ldots \}
C = \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots \}
D = \{4, 16, 36, 64, \ldots \}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo por lo que D = P C.

Definición[editar]

Intersección de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, su intersección es otro conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :

x\in A\cap B\text{ cuando }x\in A\text{ y }x\in B

Ejemplo.

  • Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A B = {5, c}.
  • Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.
  • Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío , ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

A\cap B=\varnothing

Generalizaciones[editar]

La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n=A_1\cap(A_2\cap(\ldots(A_{n-1}\cap A_n){\scriptstyle \ldots})

La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

Sea M una familia de conjuntos. Su intersección M se define como:

x\in\bigcap M\text{ si para cada }A\in M\text{ se tiene que }x\in A

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:

A B = M, donde M = {A, B}
A1 ... An = M, donde M = {A1, ..., An}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

\bigcap M=\bigcap_{A\in M}A=\bigcap_{i\in I}A_i\text{ ,}

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {Ai: i I}.

Propiedades[editar]

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

  • Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
A \cap A = A
  • La intersección de A y B es un subconjunto de ambos:
A \cap B \subseteq A, B
  • La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:
B \subseteq A \rightarrow A \cap B = B

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

  • Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B C es igual a la intersección de los conjuntos A B y C :
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
  • Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :
A \cap B = B \cap A
A \cap \varnothing = \varnothing

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

  • A (B C) = (A B) (A C), y por tanto:
    • A (A B) = A
  • A (B C) = (A B) (A C), y por tanto:
    • A (A B) = A

Teoría axiomática[editar]

En las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático de reemplazo.

Referencias[editar]

  • Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5. 
  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Véase también[editar]