Anillo de conjuntos

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En matemática, específicamente en álgebra abstracta y teoría de anillos, una colección no vacía de conjuntos \mathcal{R} es un anillo (de conjuntos) si es cerrada bajo las operaciones de intersección y diferencia simétrica.

Formalmente, para cualquier A,B\in\mathcal{R}, debe cumplirse

  1. A \cap B \in \mathcal{R}
  2. A \triangle B \in \mathcal{R}

donde \triangle representa la diferencia simétrica A \Delta B = (A - B) \cup (B - A).

Un anillo de conjuntos forma un anillo (posiblemente sin unidad) bajo estas dos operaciones. La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)

El conjunto vacío es el elemento identidad para \triangle, y la unión de todos los conjuntos, es el elemento identidad para \cap, creando un anillo unitario.

Dado cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X forma un anillo de conjuntos discreto, mientras que la colección {∅,X} constituye un anillo de conjuntos no discreto. Cualquier campo de conjuntos, así como cualquier sigma-álgebra son también anillos de conjuntos.

Los anillos de conjuntos son retículos distributivos.

Referencias[editar]