Monoide

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En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal[editar]

Un monoide es una estructura algebraica en la que es un conjunto y es una operación binaria interna en que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):[1]

  1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:
  2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:
  3. Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación , es decir:

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad[editar]

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Ejemplos[editar]

Concatenación de cadenas alfanuméricas[editar]

Definimos el conjunto A de las cadenas alfanuméricas, cada una de las cuales es una secuencia de letras y números de cualquier longitud, que representaremos:

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

Definimos la operación de concatenación de cadenas de caracteres:

que podemos representar, de las siguientes formas:

podemos ver que tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas su concatenación es una cadena alfanumérica:

.

2.- Es asociativa:

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres, existe la cadena vacía de A, de modo:

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa. No cumple la propiedad conmutativa para todos los elementos:

Para todo a, b de A la concatenación de a con b es distinto de la concatenación de b con a.

Multiplicación de números naturales[editar]

Partiendo del conjunto de los números naturales:

y la operación multiplicación, podemos ver que: es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

.

2.- Es asociativa:

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías[editar]

Una categoría monoidal[cita requerida], es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

  1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
  2. La categoría de los espacios vectoriales sobre un campo junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a como el elemento neutro.

Véase también[editar]

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Conjunto
Ley de composición
Interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Referencias[editar]

  1. Álgebra (1971) Lang, Serge, versión española de Milagros Ancoche ISBN 84-03-20216-4; pg.3

Bibliografía[editar]

  1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3. 

Enlaces externos[editar]