Semigrupo

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Un semigrupo, brevemente, es un sistema S(a,b,c,...) de elementos con una operación binaria de producto ab tal que a(bc) = (ab)c.[1]

Alternativamente, un semigrupo es un sistema algebraico de la forma  (A,\circ) en el cual A es un conjunto, en donde se ha definido una operación binaria interna  \circ . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:


1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \circ , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall x, y \in A : \quad
    x \circ y \in A
.


2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:


   \forall x, y, z \in A: \quad
   x \circ (y \circ z) =
   (x \circ y) \circ z \;
.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna  \circ si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \circ b =
   b \circ a \;

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos[editar]

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, N con la operación suma, +. Que se representa:  (N,+) \, . Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:


   \forall a, b \in N : \quad
    a + b \in N
.

Una operación asociativa:


   \forall a, b, c \in N: \quad
   (a + b) + c =
   a + (b + c) \;
.

Y conmutativa:


   \forall a, b \in N : \quad
    a + b =
    b + a
.

Luego  (N,+) \, es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto Z+ de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

  • la multiplicación
  • la obtención del m.c.d.
  • la obtención del m.c.m.

Estos tres son semigrupos abelianos, vid. Lecciones de álgebra moderna de P. Dubreil et al.

  • Consideremos el conjunto potencia de A, P(A) = {X/ X⊂ A}; P(A) tanto con la unión cuanto la intersección de conjuntos es un semigrupo con unidad.[2] Unidad para la unión es el conjunto vacío; y en este ejemplo, la unidad para la intersección será el conjunto A.

Cuasi grupo[editar]

Un cuasi grupo Q es un sistema de elementos Q(a,b,c,...) en el cual está definida una operación binaria de producto ab tal que, en ab = c cualesquiera dos de a, b, c determina, de modo único, el tercero como elemento de Q.[3]

Proposición[editar]

Un grupo es a la vez un semigrupo y un cuasi grupo. [4]

Lazo[editar]

Un lazo es un cuasi grupo con una unidad 1 tal que 1a 0 a1 = a para cualquier elemento a. [5]

Véase también[editar]

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Operación matemática
Operación interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Referencias[editar]

  1. HallJr. Teoría de los grupos. trillas, México D.F.
  2. Schaumm: "Algebra moderna"
  3. Hall Jr. Op. cit.
  4. Hall Jr. Op. cit.
  5. Hall Jr. Op. cit. pág. 18.