Semigrupo

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Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma  (A,\circ) en la cual A es un conjunto no vacío,  \circ es una operación interna definida en A . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:


1.- Clausura: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \circ , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall x, y \in A : \quad
    x \circ y \in A
.


2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:


   \forall x, y, z \in A: \quad
   x \circ (y \circ z) =
   (x \circ y) \circ z \;
.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna  \circ si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \circ b =
   b \circ a \;

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos[editar]

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, N con la operación suma, +. Que se representa:  (N,+) \, . Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:


   \forall a, b \in N : \quad
    a + b \in N
.

Una operación asociativa:


   \forall a, b, c \in N: \quad
   (a + b) + c =
   a + (b + c) \;
.

Y conmutativa:


   \forall a, b \in N : \quad
    a + b =
    b + a
.

Luego  (N,+) \, es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto Z+ de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

  • la multiplicación
  • la obtención del m.c.d.
  • la obtención del m.c.m.

Estos tres son semigrupos abelianos, [1]

  • Consideremos el conjunto potencia de A, P(A) = {X/ X⊂ A}; P(A) tanto con la unión cuanto la intersección de conjuntos es un semigrupo con unidad.[2] Unidad para la unión es el conjunto vacío; y en este ejemplo, la unidad para la intersección será el conjunto A.
  • Sea  M_n el conjunto de la matrices reales de orden n, con la suma de matrices. En tal caso es un semigrupo conmutativo. Lo mismo, cuando se considera la multiplicación es un semigrupo, pero no es conmutativo. [3]
  • Sea  P_n el conjunto de matrices estocásticas con la habitual multiplicación de matrices; si es así es un semigrupo. [4]
  • Sea S = {4k+1/ k ∈ ℕ} con la multiplicación habitual de números naturales. Luego S es un semigrupo multiplicativo.

Subsemigrupo[editar]

Considerando S´ ⊂ S donde S es un semigrupo con la operación º, diremos que es un subsemigrupo si xºy está en para cualesquiera x, y elementos de . [5]

Ejemplos[editar]

  • El conjunto 4ℤ de los múltiplos enteros de 4, con la adición de enteros, es un subsemigrupo del semigrupo 2ℤ aditivo de los pares enteros.
  • El conjunto de las matrices diagonales de orden 2, con la suma de matrices, es un subsemigrupo del semigrupo aditivo de la matrices cuadradas de orden 2. [6]

Cuasi grupo[editar]

Un cuasi grupo Q es un sistema de elementos Q(a,b,c,...) en el cual está definida una operación binaria de producto ab tal que, en ab = c cualesquiera dos de a, b, c determina, de modo único, el tercero como elemento de Q.[7]

Proposición[editar]

Un grupo es a la vez un semigrupo y un cuasi grupo.[8]

Lazo[editar]

Un lazo es un cuasi grupo con una unidad 1 tal que 1a 0 a1 = a para cualquier elemento a.[9]

Véase también[editar]

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Conjunto
Ley de composición
Interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Referencias[editar]

  1. Lecciones de álgebra moderna de P. Dubreil- Jacotin
  2. Schaumm: "Algebra moderna"
  3. Schaum. Matrices
  4. Schaum. Idem
  5. Cotlar- Sadoski. Introducción al álgebra moderna
  6. Se compueban los dos casos, en base a las definiciones de los respectivos conjuntos, y las operaciones establecidas sobre ellos.
  7. Hall Jr. Op. cit.
  8. Hall Jr. Op. cit.
  9. Hall Jr. Op. cit. pág. 18.