Residuo cuadrático

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En Matemáticas, dentro de la Teoría de Números se denomina residuo cuadrático módulo (donde p es un número primo) a cualquier entero que no es múltiplo de para el que tenga solución la congruencia:

o lo que es lo mismo cuando es un cuadrado no nulo módulo ,[1] y que por lo tanto tiene una raíz cuadrada en la aritmética de módulo . A los enteros que no son congruentes con cuadrados perfectos módulo se les denomina no-residuos cuadráticos. En adelante nos referimos a menudo a ellos como residuos y no-residuos.

En ocasiones se admite la definición de residuos cuadráticos módulo enteros no primos. Sin embargo, es conveniente limitarse al caso en el que el módulo es un primo , ya que entonces tenemos un comportamiento mucho más sencillo. Muchas propiedades de los residuos para módulos generales pueden derivarse de este caso usando el teorema chino del resto y otros resultados de la resolución de congruencias.

Ejemplo[editar]

Si tomamos el primo p=13, se tiene que 12 = 122 = 1 (mod 13), 22 = 112 = 4 (mod 13), 32 = 102 = 9 (mod 13), 42 = 92 = 3 (mod 13), 52 = 82 = 12 (mod 13), 62 = 72 = 10 (mod 13).

Por lo tanto, los residuos cuadráticos módulo 13 son: 1, 3, 4, 9, 10 y 12; los no residuos: 2, 5, 6, 7, 8, y 11.

Notación[editar]

Suele utilizarse el símbolo de Legendre para marcar si un entero a es un residuo cuadrático módulo p. Dado un número a y un primo p, se define el mismo como:

Propiedades básicas[1] [editar]

  • El producto de dos residuos o de dos no-residuos es un residuo y el producto de un residuo y de un no-residuo es un no-residuo.
  • Si es primo, la mitad de las clases residuales módulo son residuos y la otra mitad no-residuos.
  • El criterio de Euler afirma que . Esto significa que a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si .
  • -1 es un residuo de todos los primos de la sucesión y es un no-residuo de todos los primos de la sucesión
  • 2 es un residuo de todos los primos de las sucesiones y y es un no-residuo de todos los demás primos impares.
  • Si y son primos impares, y ninguno de ellos pertenece a la sucesión entonces es un residuo módulo si y sólo si es un no-residuo módulo . Si por otro lado cualquiera de los dos, o ambos, pertenecen a la sucesión entonces es un residuo módulo si y sólo si es un residuo módulo .

A esta última propiedad se le conoce como la ley de reciprocidad cuadrática, y es uno de los teoremas más importantes de la teoría elemental de números.

Algunas aplicaciones[editar]

Los residuos cuadráticos son útiles para varios test de primalidad, así como para algoritmos que permiten factorizar enteros. Se destaca entre ellos el test de primalidad de Solovay-Strassen, que utiliza el criterio de Euler junto a las propiedades del símbolo de Jacobi. Es un test probabilístico.[2]

Problemas abiertos y conjeturas[editar]

Uno de los problemas abiertos más importantes sobre residuos cuadráticos es determinar el orden de magnitud del mínimo no-residuo cuadrático positivo . El mejor resultado conocido, debido a Burguess, asegura que la expresión

está acotada para todos los primos, y se conjetura que el resultado podría seguir siendo cierto si sustituimos el denominador por .

Extensiones[editar]

Al igual que de residuos cuadráticos, podemos hablar de residuos cúbicos, residuos bicuadráticos y en general de residuos potenciales.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Miller, Steven; Takloo-Bighash, Ramin (2006). «Eisenstein's proof of quadratic reciprocity». An invitation to modern number theory (en inglés). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pp. 22-23. ISBN 978-0-691-12060-7. 
  2. Koblitz, Neal (2006). «Pseudoprimes». A course in number theory and cryptography (en inglés) (segunda edición). Springer. p. 129. ISBN 0-387-94293-9. 

Enlaces externos[editar]