Función recíproca

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Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Definiciones formales[editar]

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

  • y
  • .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas[editar]

Función reciproca esquema.png

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1. y
  2. ,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
  • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa[editar]

La notación tradicional puede ser confusa, ya que puede dar a entender . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

  • .

Propiedades algebraicas[editar]

Inversión del orden en la composición de funciones.
  • La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
  • La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable[editar]

Continuidad[editar]

  • f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
  • Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa[editar]

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
  • Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
  • Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(yf '(x) = 1.

Derivabilidad[editar]

  • f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  • Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos[editar]

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
  • Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos, Es decir, las dos funciones siguientes son una recíproca de la otra:

Para , , y utilizando se obtiene:
Para , , y utilizando se obtiene:

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.

  • En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no pude escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

Aunque la función recíproca se puede aproximar como serie de Taylor:

Véase también[editar]