Diagrama de Venn

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Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topológicas de itersección, inclusión y disyunción entre dos conjuntos

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Introducción[editar]

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos

Intersección[editar]

Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersección de ambos.[1]

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 3; 5; 15}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}
Diagrama de Venn - intersección con elementos
A = {x | x es divisor natural de 12}
B = {x | x es divisor natural de 15}
U = {x | x es natural menor o igual que 16}
Diagrama de Venn - intersección sin elementos

Inclusión[editar]

Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que está incluido en el segundo.[1] En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías), la situación se indica anulándolas (con un color de fondo distinto).[2]

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 2; 3; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
Diagrama de Venn - inclusión con elementos
A = {x | x es divisor natural de 12}
B = {x | x es divisor natural de 6}
U = {x | x es natural menor o igual que 12}
Diagrama de Venn - inclusión sin elementos

Disyunción[editar]

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.

A = {2; 4; 6; 8}
B = {1; 3; 5; 7; 9}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Diagrama de Venn - inclusión con elementos
A = {x | x es par y de una cifra}
B = {x | x es impar y de una cifra}
U = {x | x es natural menor o igual que 10}
Diagrama de Venn - inclusión sin elementos

A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeración y por comprensión.

Orígenes e historia[editar]

Vitral del comedor del Caius College (Cambridge) en homenaje a John Venn y su creación

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico.[3] Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito.[4]

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos,[5] que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, de silogismos— se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notación clara y sencilla.[2] El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.

Diagrama de Euler - inclusión
diagrama de Euler

Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:

  • en ellos no aparecen las regiones vacías y
  • el conjunto universal no se representa.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresión "universo del discurso", él nunca representó al universal en sus trabajos.[3] Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños que popularizó el concepto de conjunto complementario.[1] El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véase paradoja de Russell). Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en una reciente extensión de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universo del discurso).[6] Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.[2]

Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas.[7] Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en 1889.[8]

La primera constancia escrita del uso de la expresión "diagrama de Venn" es muy tardía (1918) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.[9]

Diagramas de Venn de enunciados[editar]

Como se mostró en la introducción, los diagramas de Venn pueden ser definidos por enumeración de sus elementos o por indicación de una característica común que los identifica unívocamente.[1] De ahí que haya dos tipos de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos por líneas cerradas y los que simplemente muestran enunciados o conceptos. Estos últimos son más interesantes porque permiten operar de manera abstracta y llegar a conclusiones más generales.[10]

Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de cuatro operaciones básicas con conjuntos usando el código del semáforo de dos colores.[11]

Venn operaciones 2 Venn operaciones 1 Venn operaciones 3 Venn operaciones 4
¬A AB AB = ¬((¬A) ∧ (¬B)) AB = A ∧ (¬B)

Como se desprende de las igualdades, con las dos primeras operaciones (negación y conjunción), es posible hacer las otras dos (disyunción y sustracción).

El código de dos colores puede ser interpretado en el sistema binario de numeración: rojo = 0; verde = 1. A los resultados de las operaciones se los puede entonces digitalizar. Y a los términos que participan de las operaciones, también. De este modo, las operaciones con conjuntos se convierten en operaciones con números.[12]

Diagramas de Venn y cantidad de definiciones[editar]

Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que queda dividido el conjunto universal con una, dos y tres definiciones.

Diagrama de Venn - 1 conjunto Diagrama de Venn - 2 conjuntos Diagrama de Venn - 3 conjuntos
1 conjunto (2 colores) 2 conjuntos (4 colores) 3 conjuntos (8 colores)

Entre los colores se cuenta el gris, que en todos los casos corresponde a los elementos que no caen en ninguna definición.

Diagrama de un conjunto[editar]

Tiene sólo 2 regiones: la de los elementos que responden a la definición A y la de los que se oponen a ella.[1]

Diagrama de dos conjuntos[editar]

Tiene 4 regiones. Considérese el siguiente ejemplo: el conjunto A es el de los animales bípedos y el conjunto B es el de los animales que pueden volar. El área donde las dos regiones se superponen contiene por lo tanto a todos los animales que, al mismo tiempo, son bípedos y pueden volar. En resumen:

  • A (regiones amarilla y verde): animales bípedos,
  • B (regiones azul y verde): animales que pueden volar,
  • A y B (región verde): animales bípedos que pueden volar,
  • A y no B (región amarilla): animales bípedos que no pueden volar,
  • no A y B (región azul): animales no bípedos (que no tienen dos patas) que pueden volar,
  • no A y no B (región gris): animales no bípedos que no pueden volar,
  • A o B (regiones amarilla, azul y verde): animales bípedos o que pueden volar.

Los pingüinos, que tienen dos patas y no pueden volar, están en la región amarilla; los mosquitos, que tienen seis patas y pueden volar, están en la región azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar, están en la región verde; las ballenas, que no tienen patas ni pueden volar, están en la región gris.

Diagrama de tres conjuntos[editar]

Tienen 8 regiones. Los diagramas de tres conjuntos fueron los más usados por Venn en toda su obra. Un ejemplo de aplicación podría ser el siguiente: dado un grupo de personas, A es el conjunto de las de sexo masculino, B el conjunto de las mayores de 18 años y C el conjunto de las que trabajan. De este modo, la región verde sería la de las personas de sexo masculino, mayores de 18 años, que no trabajan.[13]

Diagramas de más de tres conjuntos[editar]

La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó varias representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.[14]

Diagramas de Edwards[editar]

Anthony William Fairbank Edwards propuso diagramas para más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Tres conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius College.[15]

Diagrama de Edwards de 3 conjuntos Diagrama de Edwards de 4 conjuntos
3 conjuntos 4 conjuntos
Diagrama de Edwards de 5 conjuntos Diagrama de Edwards de 6 conjuntos
5 conjuntos 6 conjuntos

Otros diagramas[editar]

Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basan en la intersección de polígonos con cantidades crecientes de lados.[16] [17] [18] Phillip Smith ideó diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales con ecuaciones del tipo y = sen(2i x)/2i, 0 ≤ i ≤ n – 2. Por su parte, Lewis Carroll diseñó un diagrama de cinco conjuntos.

Otras representaciones[editar]

A continuación se hace referencia a representaciones relacionadas con los diagramas de Venn.

Líneas de Leibniz[editar]

Las líneas de Leibniz fueron las primeras representaciones de conceptos lógicos. Leibniz también representó los conceptos con círculos, pero prefería las líneas.

Círculos de Euler[editar]

Los círculos de Euler preceden históricamente a los diagramas de Venn y en algunas aplicaciones son todavía usados.

La diferencia entre los diagramas de Euler y de Venn se observa sobre todo en las relaciones de inclusión y de disyunción.

  inclusión disyunción
Leibniz Diagrama de Venn Euler 5 Diagrama de Venn Euler 6
Euler Diagrama de Venn Euler 3 Diagrama de Venn Euler 4
Venn Diagrama de Venn Euler 1 Diagrama de Venn Euler 2

Los diagramas de Venn muestran la topología del sistema sin que sea necesario modificar la posición relativa de los conjuntos, a costa de introducir una nueva convención: el sombreado de las regiones vacías.

Mapas de Karnaugh[editar]

Los mapas de Karnaugh o diagramas de Veitch son una representación visual de expresiones del álgebra de Boole.[19]

Gráficos de Peirce[editar]

Los gráficos de Peirce son extensiones de los diagramas de Venn que incluyen información sobre afirmaciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones.[2]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b c d e Juan José Luetich, "Ser o ser no, ése es el dilema", Actas – Suplemento 1, 1 (1) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2001
  2. a b c d Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editores), artículo: "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013
  3. a b Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 1969
  4. Anónimo, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel, Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 110 No. 756, Londres, The Royal Society, 1926
  5. John Venn, "On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 10 (58) 1–18, Escocia, Taylor & Francis, 1880
  6. "Camino del ser y diagrama total", Actas – Editoriales, Rosario, Academia Luventicus, 2013
  7. John Venn, Symbolic Logic, Londres, Macmillan, 1881
  8. Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic, Berkeley, University of California Press, 1918
  9. John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 1907
  10. Juan José Luetich, "Ser y pertenecer", Actas – Suplemento 1, 1 (2) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2008
  11. Javier R. Movellan, "Tutorial on axiomatic ser theory", Tutorial on axiomatic ser theory, Kolmogorov Project, 2003
  12. A. Calini – E. Jurisich – S. Shields, "Set Theory and Logic", Set Theory and Logic, College of Charleston, 2008
  13. Juan José Luetich, "Operaciones con tres conjuntos", Luventicus – Universidad, Rosario, Academia Luventicus, 2003
  14. Frank Ruskey – Mark Weston, "A Survey of Venn Diagrams", "What is a Venn Diagram?", The Electronic Journal of Combinatorics, combinatorics.org, 2005
  15. Anthony W. F. Edwards, "Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams", Baltimore (Máriland), The Johns Hopkins University Press, 2004
  16. Branko Grünbaum, "Venn Diagrams I", Geombinatorics, Vol. 1 No. 4, 1992
  17. Branko Grünbaum, "Venn Diagrams II", Geombinatorics, Vol. 2 No. 2, 1992
  18. Branko Grünbaum, "The search for symmetric Venn diagrams", Geombinatorics, Vol. 8 No. 1, 1999
  19. Andreas Otte, "Venn-Diagramme: Einleitung", Begriffslogik.de, 1998

Enlaces externos[editar]

  • LogicTutorial.com: Lecturas sobre exclusión y significación.
  • Winvenn: Programa que permite a los alumnos explorar la notación de la teoría de conjuntos sombreando diagramas.
  • XFig: Programa de creación de gráficos con licencia GPL que genera varios códigos, incluyendo LaTeX, Poscript Encapsulado y PDF.
  • 3 Circle Venn Diagram Applet: Programa de uso en línea para la creación de diagramas de tres conjuntos con áreas proporcionales.