Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje

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Plan de aprendizaje universitario sobre matemática discreta y análisis numérico en el que hacemos un especial hincapié en la promoción del desarrollo y mejora de habilidades de resolución de problemas y de actitudes positivas hacia el pensamiento matemático, crítico y analítico.

Este plan se basa en mi experiencia personal y está apoyado en Wikipedia y en más fuentes de información, en español e inglés.

La inclusión de Multimedia-icon.svg vídeos de terceros lleva consigo su mejoramiento.

Por favor, sea libre de sugerir mejoras.

Índice

Introducción


«Le hablaba yo cierto día a un perito químico de la hipótesis de Avogrado respecto al número de moléculas de los gases en igual volumen, y a su relación con la ley llamada de Mariotte y a sus consecuencias en la química moderna, y hubo de contestarme: "¡Teorías, teorías! Todo eso a mí no me importa... Eso para los que hacen ciencia; yo me limito a aplicarla". Me callé, torturando mi magín para dar en cómo puede aplicarse ciencia sin hacerla, y al cabo, cuando pasado algún tiempo supe por qué había estado a la muerte nuestro perito, lo comprendí al cabo».
Miguel de Unamuno (1864-1936): De la enseñanza superior en España [On higher education in Spain], Madrid, Revista Nueva, 1899, http://www.liburuklik.euskadi.eus/handle/10771/24524, p. 45. También, en: Obras Completas de Miguel de Unamuno, Vol. VIII (Ensayos), pp. 1-58 (la cita, en la p. 32).

Glosario de abreviaturas[editar]

Ex ante I: Matemáticas e Informática[editar]

(Para ir abriendo boca)

— Arengas[editar]

— Matemáticas discretas[editar]

— Algoritmos[editar]

Ex ante II: Wikis temáticos[editar]

— Wikipedia (Puntos de partida)[editar]

— Otros:[editar]

Ex ante III: Titulados en Informática[editar]

Ex ante IIII: Conocimientos matemáticos preuniversitarios[editar]

Ex ante V: Motivación general[editar]

Ex ante VI: Motivación específica[editar]

Información general


Universidades (España)[editar]

— Instituciones, organizaciones, asociaciones[editar]
— Legislación[editar]

Universidad de Extremadura (España)[editar]

Escuela Politécnica (EPCC)[editar]

Información específica


— Profesor[editar]

Juan Miguel León-Rojas

Despacho: 1904/1/9 (según la planimetría de las instalaciones y servicios del campus de Cáceres: edificio (O. Públicas)/planta/despacho).

Correo electrónico: jmleon@unex.es.

Horas de tutorías.

— Descripción de la asignatura[editar]

Esta asignatura es una introducción a la matemática discreta y sus aplicaciones, incluyendo además unas muy breves pinceladas sobre algunos métodos numéricos. Aunque no tiene ningún requisito previo, se agradece cierto conocimiento de matemáticas (principalmente de álgebra, cálculo y probabilidad) y de computación (principalmente de programación), aunque en ningún caso se presupondrá.

Código UEX: 501272.

— Plan docente de la asignatura[editar]

— Horarios[editar]

— Texto básico[editar]

Matemática discreta[editar]

Para la parte dedicada a la matemática discreta, se recomienda adoptar como libro de texto:

Como este libro incluye la amplia mayoría del material de la asignatura —que, dicho sea de paso, se corresponde con los contenidos que se enseñan en la actualidad en cientos de universidades en el campo de la matemática discreta—, se recomienda a los estudiantes adoptarlo y estudiarlo. El libro de Rosen es, a la vez, un libro de texto y un libro de ejercicios con multitud de ejercicios y casos prácticos (ejercicios de programación, cálculo y experimentación). Puede, asimismo, ser considerado un libro guía al incluir múltiples lecturas sugeridas. A pesar de su espíritu enciclopédico, también es un manual al incluir listas de términos claves y resultados y cuestiones de repaso.

Por favor, tenga en cuenta que la anterior es una traducción de la quinta edición en inglés de Discrete Mathematics and Its Applications, 2003, ISBN 978-0-07-242434-8, © TDR (última edición traducida al español, por: José Manuel Pérez Morales, Julio Moro Carreño, Ana Isabel Lías Quintero y Pedro Antonio Ramos Alonc) (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/).

Importante: Dicho libro, en Estados Unidos, está en la séptima edición: Kenneth H. Rosen (2012) Discrete Mathematics and Its Applications, 7th edition (edición estadounidense), ISBN 978­-0­-07­-338309­-5, © TDR (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosen). Por ejemplo, desde aquí puede descargar un conjunto completo de transparencias (en inglés): http://highered.mheducation.com/sites/0073383090/student_view0/lecture_powerpoint_slides.html
Existe también una edición internacional posterior, la Edición Global, en inglés, adaptada por Kamala Krithivasan, 2013, ISBN 978­-0­-07­-131501­2, © TDR (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosenGE), que, aunque también es una séptima edición, difiere de la estadounidense en incluir nuevos temas y en que los ejercicios están en diferente orden.
Como sabe, las nuevas ediciones actualizan y mejoran las anteriores, incluyendo eventualmente nuevo contenido, por lo que es muy recomendable que, dentro de lo posible (principalmente por cuestiones de conocimiento de otros idiomas), lea y estudie las nuevas versiones de las secciones y ejercicios, por ejemplo en las ediciones sexta (ISBN 978-0-07-288008-3, © ARR, página web de ayuda: http://highered.mheducation.com/sites/0072880082/information_center_view0/index.html), séptima (http://www.mhhe.com/rosen) y séptima global (http://www.mhhe.com/rosenGE). En estas páginas web, además, puede encontrarse, en inglés, entre otros materiales y recursos, formularios de autoevaluación y colecciones de ejercicios propuestos.

Por otro lado, este libro está acompañado por libros de soluciones de todos los ejercicios propuestos, en inglés, para la 5ª y 7ª ediciones estadounidenses:

Y también por los libros complementarios, en inglés, de exploración de los contenidos y de soluciones a lo propuesto en los epígrafes «ejercicios de programación» (computer projects) y «cálculo y experimentación» (computations and explorations), de la 7ª edición estadounidense:

Finalmente, desde las páginas web de ayuda mencionadas, puede llegarse y descargar el siguiente libro de aplicaciones de la matemática discreta, última edición pareada con la 6ª edición del de Rosen, en inglés, y en cualquier caso, para su estudio posterior una vez terminado este curso, salvo los capítulos que se indiquen de interés para el mismo.

Cálculo numérico[editar]

Para la breve parte de cálculo numérico, se recomienda adoptar como libro de texto:

  • Chapra, Steven C., & Canale, Raymond P. (2007) Métodos numéricos para ingenieros (5ª edición internacional). México: McGraw-Hill/Interamericana editores, S.A. de C.V. ISBN-13: 978-970-10-6114-5. © TDR.

Nótese que aunque nosotros usaremos la quinta edición internacional, este libro actualmente está en su séptima edición http://www.mheducation.com/highered/product/numerical-methods-engineers-chapra-canale/M007339792X.html), también traducida al español (http://www.mheducation.es/9786071512949-spain-metodos-numericos-para-ingenieria). Página web de ayuda: http://www.mhhe.com/engcs/general/chapra/

En la biblioteca de la UEX, usted dispone de acceso electrónico a la 6ª edición, en español: http://0-www.ingebook.com.lope.unex.es/ib/NPcd/IB_BooksVis?cod_primaria=1000187&codigo_libro=4250

— Comunicación[editar]

Proyectos educativos en Wikipedia


(Actividades prácticas no presenciales optativas)

Como unirse al proyecto «Matemáticas discretas y numéricas» es optativo, hacerlo depende por entero de usted. Pero si lo hace, recuerde, usted debe:
  • usar su verdadera identidad —aunque usted puede usar un alias como su nombre de usuario, usted debe informar de su identidad real (nombre y apellidos) en su página de usuario—;
  • ser educado y respetar la diversidad;
  • cumplir las normas y obligaciones establecidas por el profesor para este proyecto (navegue aquí);
  • ayudar a sus compañeros en todo lo posible;
  • sobre todo, comprometerse consigo mismo.
Jmleonrojas (discusión) 08:45 15 nov 2017 (UTC)

— En la Wikipedia en español[editar]

— Comunicación[editar]

Para estar al tanto, siga las recomendaciones dadas en la página del proyecto en la Wikipedia en español. Además, también es recomendable que añada las páginas de discusión:

  • de la página del proyecto,
  • de las páginas de usuario de los participantes en el mismo,
  • de los cuadernos de bitácora de estos últimos,

a su lista de seguimiento (note que, en cualquier momento, puede añadir una página a su lista de seguimiento pulsando la estrella que aparece al lado de la pestaña «Ver historial»).

— Proyecto hermano en la Wikipedia en inglés[editar]

Contenidos y caminos de aprendizaje en Wikipedia


¿Me contradigo?
Muy bien, entonces me contradigo,
(Soy grande, contengo multitudes.)»
Walt Whitmann (1819-1892): Song of Myself (en Leaves of Grass, 1855)

Consideraciones[editar]

Esquema del curso[editar]

Tema 1.- Fundamentos

Tema 2.- Números y sobre números

Tema 3.- Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente

Tema 4.- Visualizando relaciones

Más (algunas cuestiones suplementarias y curiosas fuera del programa, aunque relacionadas con él)

WP+: Caminos en Wikipedia, bibliografía (teoría y ejercicios, propuestos y resueltos), multimedia y más aún [editar]

Advertencia muy importante[editar]

Tema 1.- Fundamentos[editar]

Lógica[editar]
Conceptos claves[editar]

— Lógica de enunciados

— Pruebas y refutaciones, I

— Lógica de predicados

— Reglas de inferencia

— Pruebas y refutaciones, II

— Pruebas y refutaciones, III

— Demostraciones

— Más

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Amador Antón y Pascual Casañ, Lógica Matemática. Ejercicios. I. Lógica de enunciados. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: NAU llibres, 3ª edición, 1987. ISBN 84-85630-42-4
  • —¤— María Manzano y Antonia Huertas, Lógica para principiantes. Humanes de Madrid, Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Alianza, 2006. ISBN 84-206-4570-2.
  • —¤— Kenneth H. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. Aravaca, Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., 5ª edición, 2004. ISBN 84-481-4073-7. (Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 3.1 y ejercicios correspondientes).

En inglés:

  • —¤— Kenneth H. Rosen. Discrete mathematics and its applications. Nueva York, Estado de Nueva York (US-NY), Estados Unidos: McGraw-Hill, 7ª edición, 2012. ISBN 978-0-07-338309-5. (Capítulo 1 y ejercicios correspondientes).
Programas[editar]
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
Véase también[editar]

En español:

En inglés:

---

Para saber más[editar]
  1. Portal:Lógica (En inglés: Portal:Logic)
  2. Portal:Pensamiento (En inglés: Portal:Thinking)
  3. Y más:
    1. Forma normal prenexa
    2. Esbozo de la lógica (En inglés: Outline of logic)
    3. Conceptos en lógica
    4. Álgebra de Boole
    5. Puertas lógicas
    6. Wikiproyecto:Lógica (En inglés: Wikipedia:WikiProject Logic)
    7. Categoría:Lógica (categoría de Wikipedia)
    8. Categoría:Lógica matemática (categoría de Wikipedia)
    9. Alfabeto lógico (En inglés: Logic alphabet)
Conjuntos, relaciones y funciones[editar]
Conceptos claves[editar]

— Conjuntos

— Operaciones entre conjuntos

— Funciones

— Relaciones de equivalencia

— Relaciones de orden

— Relaciones de preferencia e indiferencia

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Secciones 2.1, 2.2, 2.3, Capítulo 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]

— Conjuntos

En español: En inglés:

— Relaciones

En español: En inglés:

— Funciones

En español: En inglés:
Para saber más[editar]
  1. Portal:Teoría de conjuntos (En inglés: Portal:Set theory)
  2. Y más:
    1. Categoría:Teoría de conjuntos
Estructuras algebraicas[editar]
Conceptos claves[editar]

— Estructuras algebraicas

— Semigrupos, monoides y grupos

— Homomorfismos — Anillos, dominios de integridad y cuerpos

— Más

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 9 «Operaciones», 24 ejercicios resueltos; Capítulo 10 «Grupos-Estructura», 154 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 1 «Estructura de anillo», 40 ejercicios resueltos; Capítulo 4 «Estructura de cuerpo», 32 ejercicios resueltos), 1982. ISBN: 84-300-6417-6.
  • Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla. Álgebra básica. Notas de teoría. http://www.algebra.us.es/Documentos/AB_1011_Teoria
  • —¤— José García García y Manuel López Pellicer. Álgebra lineal y geometría. Curso teórico-práctico. 7ª edición. Marfil, Alcoy, España. ISBN: 84-268-0269-9.

En inglés:

Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:

— Grupos

— Ejemplos de grupos

— Homomorfismo de grupos

— Anillos

— Dominio de integridad

— Algebras

Para saber más[editar]
  1. Portal:Matemáticas discretas (En inglés: Portal:Discrete_mathematics)
  2. Y más:
    1. Grupo simétrico
    2. Grupo multiplicativo de enteros módulo n (En inglés: Multiplicative_group_of_integers_modulo_n)
Cardinalidad[editar]
Conceptos claves[editar]

— Conjuntos infinitos

, y son conjuntos numerables

no es un conjunto numerable

— Demostraciones

— Más

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Secciones 2.5, 5.1, 5.2, 5.3 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
Véase también[editar]
Para saber más[editar]
  1. Portal:Teoría de conjuntos (En inglés: Portal:Set theory)
  2. Y más:
    1. Categoría:Teoría de conjuntos

Tema 2.- Números y sobre números[editar]

Teoría de números[editar]
Conceptos claves[editar]

— Divisibilidad y aritmética modular

— Primos

— Solucionando congruencias

— Criterios de divisibilidad

— Ecuaciones diofánticas

— Aplicaciones de las congruencias

— Más

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

  • —¤— Thomas Koshy. Elementary number theory with applications. Academic Press (marca de Elsevier Inc.), Nueva York, Estados Unidos, 2ª edición, 2007, ISBN: 978-0-12-372487-8
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7th edition. (Capítulo 4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
  • Kenneth A. Rosen. Elementary number theory and its applications. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, Estados Unidos, 1986, ISBN 0-201-06561
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:

— Divisibilidad

— — Ejemplos

— Algoritmo de la división

— — Ejemplos

— Algoritmo de Euclides

— Identidad de Bézout

— Aritmética modular. Función Fi de Euler

— Ecuaciones diofánticas

— Congruencias

Ecuaciones
Sistemas

— Congruencias de números enteros: La prueba del 9

— Los falsos positivos: La prueba del 11

— Restos potenciales

— Criterios de divisibilidad

— Divisibilidad y aritmética modular

— Primos y MCD

— Solucionando congruencias y sus aplicaciones

— Ecuaciones diofánticas

— Criptografía

Véase también[editar]
Para saber más[editar]
  1. Portal:Teoría de números (En inglés: Portal:Number theory)
  2. Portal:Criptografía (En inglés: Portal:Cryptography)
  3. Y más:
    1. Divisibilidad
      1. Algoritmos para la división (En inglés: Division algorithm)
    2. Primalidad
      1. Residuo cuadrático
      2. Ley de reciprocidad cuadrática
      3. Test de primalidad
    3. Generación de números pseudoaleatorios
      1. Lista de generadores de números aleatorios (En inglés: List of random number generators)
    4. Criptografía
      1. Número altamente indicador (En inglés: Highly totient number)
      2. Número altamente compuesto
      3. Número liso
      4. Número aproximado (En inglés: Rough number)
      5. Semiprimos
      6. Criptografía de curva elíptica
    5. Lista de números primos (En inglés: List of prime numbers)
    6. Lista de números notables (En inglés: List of notable numbers)
    7. Portal:Teoría de números (En inglés: Portal:Number theory)
Cálculo numérico[editar]
Conceptos claves[editar]
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
  • Martín Barreiro, Carlos. «El problema de la interpolación lineal» (Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 

— Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas

  • Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Lagrange» (Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 
  • Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Lagrange. Ejemplo» (Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 

— Interpolación polinómica de Lagrange

  • Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Newton» (Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 
  • Martín Barreiro, Carlos. «Polinomio de Newton. Ejemplo» (Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 

— Newton's divided differences interpolation polynomial

— Lagrange polynomial

Para saber más[editar]
  1. Martín Barreiro, Carlos. «Análisis numérico» (Vídeo). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 
  2. Kaw, Autar. «Holistic Numerical Methods» (Vídeo). Tampa, Florida (US-FL), EUA: University of South Florida (USF).  (en inglés)
  3. Portal:Análisis (En inglés: Portal:Analysis)

Tema 3.- Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente[editar]

Combinatoria[editar]
Conceptos claves[editar]
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 8 «Combinatoria», 31 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
  • L. Barrios Calmaestra. Combinatoria. En: Proyecto Descartes. Ministerio de Educación. Gobierno de España. 2007. (Acceso abierto). http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/combinatoria.htm
  • M. Delgado Pineda. Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Combinatoria: Variaciones, Permutaciones y Combinaciones. Potencias de un binomio. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. (CC by-nc-nd). http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema5.pdf
  • I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sánchez Navas and C. Valero Franco. Estadística Descriptiva y Probabilidad. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz (Apéndice 1: Combinatoria). 2006. (GNU FDL). http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/lib_edyp.apendices.pdf
  • —¤— Franco Brañas, José Ramón; Espinel Febles, María Candelaria; Almeida Benítez, Pedro Ramón (2008). Manual de combinatoria. Badajoz, Extremadura (ES-EX), España: @becedario. ISBN 978-84-96560-73-4.  © TDR.
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

Véase también[editar]
(y su relación con el Change ringing).
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
  • ...
Para saber más[editar]
  1. Portal de Matemáticas discretas (en inglés: The Discrete Mathematics Portal)
  2. Y más:
    1. Números de Catalan
    2. Funciones generatrices
    3. Ejemplos de funciones generatrices
    4. Combinatoria enumerativa (categoría en Wikipedia)
Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes)[editar]
Conceptos claves[editar]
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
Para saber más[editar]
  1. Sucesiones de números enteros
  2. Lista de sucesiones de la OEIS (en inglés: List of OEIS sequences (lista de sucesiones de enteros en la OEIS que tienen su propia entrada en la Wikipedia en inglés)
  3. Index to OEIS: Section Recurrent Sequencies

Tema 4.- Visualizando relaciones[editar]

Grafos[editar]
Conceptos claves[editar]
Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Capítulos 8 y 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulos 10 y 11 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
Véase también[editar]
Para saber más[editar]
  1. Anexo:Galería de grafos
  2. Portal:Matemáticas discretas (Portal:Discrete mathematics [en])
  3. Red en malla

Apéndices[editar]

Píldoras complementarias de conocimiento[editar]
Conjeturas, problemas abiertos e imaginación[editar]
Historia[editar]
Paradojas[editar]
Multimedia-icon.svg Multimedia[editar]
En español: En inglés:
  • Soto Espinosa, Jesús. «Momentos de ciencia» (Colección de vídeos). Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). 
  • ...
Para saber más[editar]
Editatones (miniencuentros intensivos de aprendizaje en colaboración)[editar]
Multimedia-icon.svg Más multimedia de los autores referidos[editar]
En español: En inglés:
  • Hervás Jorge, Antonio. «Colección de vídeos». Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: Universidad Politécnica de Valencia (UPV). 
  • Jordán Lluch, Cristina. «Colección de vídeos». Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: Universidad Politécnica de Valencia (UPV). 
  • Martín Barreiro, Carlos. «Análisis numérico» (Curso). Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador: Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL). 
  • Rodríguez Álvarez, María José. «Colección de vídeos». Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: Universidad Politécnica de Valencia (UPV). 
  • Soto Espinosa, Jesús. «Colección de vídeos». Unidad Central de Informática / Escuela Politécnica Superior. Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España: Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM). 

Ejemplos de cuestiones de examen, instrumentales y relacionales[1]​, y algunas soluciones


(Ejemplos ilustrativos, casos, ejercicios, problemas).

«Es indiscutible que cuanto más se esfuerce individualmente el estudiante, más a fondo aprenderá lo estudiado».
Timothy J. Fitikides: Common mistakes in English, Longmans, 6ª edición, 2000, p. vii.

Advertencia muy importante[editar]

Ejemplos de exámenes preparatorios[editar]

Se tendrán dos exámenes preparatorios para practicar el examen final, uno a mitad de curso y otro al final (otros dos instrumentos de evaluación). Estos exámenes serán similares al final en nivel, contenido y formato y se basarán en lo trabajado en clase hasta ese momento. Serán realizados en casa y deberían hacerse sin ninguna ayuda (libros, apuntes, etc.) y deberían durar dos horas (lo mismo que el examen final). Esta «autoevaluación controlada» intenta: a) estimular el trabajo personal del estudiante, b) detectar errores y debilidades y c) que salgan a la luz lagunas de comprensión, y por supuesto, d) corregirlos. Se dedicarán dos horas de grupo grande a su corrección, una para cada examen, en las que se compartirán ideas y soluciones. Estos exámenes están pensados para la preparación y estudio personal. No va a ser corregidos por el profesor y no se incluyen en el cómputo de la nota final.

Curso académico 2016-2017[editar]

(Las cuestiones y sus identificadores están a partir de la sección siguiente).

  • Parte 1: Temas 1 y 2.
    • Ejemplo de examen preparatorio, 1: L2, CRF1, ACN1, TN1.
    • Ejemplo de examen preparatorio, 2: L3, C1, TN3, TN2.
  • Parte 2: Temas 3 y 4.
    • Ejemplo de examen preparatorio, 1: TC1, TC2, RR1, EA1.
    • Ejemplo de examen preparatorio, 2: TC3, TC4, RR2, G1.
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Tema 1.- Fundamentos[editar]

Lógica[editar]

Cuestión L1. (2,5 puntos).
En la isla de los caballeros y truhanes hay dos clases de habitantes, los «caballeros», que siempre dicen la verdad y los «truhanes», que siempre mienten. Se supone que todo habitante de la isla es un caballero o un truhán. Había dos habitantes, y , de pie en el jardín delantero de una casa. Usted, que pasaba por allí, les preguntó: «¿Son ustedes caballeros o truhanes?»

  • a) contestó: «Si es un caballero, entonces yo soy un truhán». ¿Puede determinarse si y eran caballeros o truhanes? (1.25 p.)
  • b) Seguidamente, dijo: «No crea a ; él miente». Con esta nueva información, ¿puede determinarse si y eran caballeros o truhanes? (1.25 p.)
Solución:
Usemos en vez de « es un caballero» ---por tanto, significa « es un truhán»---.
  • a) La afirmación de , «Si es un caballero, entonces yo soy un truhán», se formaliza como y el hecho de que lo diga, como . A la vista de la tabla de verdad:
    el único modelo para es la 2ª interpretación, por tanto puede determinarse que es un caballero y un truhán.
  • b) La afirmación de , «No crea a ; él miente», es equivalente a « es un truhán», que se formaliza como y el hecho de que lo diga como , que lo único que dice es que y no pueden ser ambos caballeros ni ambos truhanes, lo que no nos aporta nada nuevo, como era de esperar al estar ya determinado. En efecto, a la vista de la tabla de verdad:
    observamos que todo sigue igual, de nuevo la 2ª interpretación es un modelo, ahora para .

Cuestión L2. (2,5 puntos).
Con la ayuda de la lógica proposicional, demuestre si el siguiente argumento es o no válido: «Este programa compilará siempre que hayamos declarado las variables. Eso sí, declararemos las variables precisamente si no se nos olvida hacerlo. Resulta que el programa no ha compilado. Entonces es que hemos olvidado declarar las variables».
Importante: No lo haga por el método de las tablas de verdad.

Solución:
Puede consultarse la solución completa mediante tablas semánticas de un ejemplo tipo en este documento.

Cuestión L3. (2,5 puntos).

  • a) Defina conjunto adecuado de conectivas (cac), también llamado conjunto completamente expresivo o funcionalmente completo de conectivas.
  • b) Proporcione dos ejemplos de cac de cardinal dos, razonando por qué lo son, suponiendo conocido el cac de las cinco conectivas más usuales .
Solución:
  • a) En Lógica Proposicional, un conjunto adecuado de conectivas (cac) es cualquier conjunto de conectivas tal que todas las conectivas de la lógica puedan representarse en función, únicamente, de las del conjunto.
  • b) Como dice el enunciado de la cuestión, suponemos conocido que el conjunto de las conectivas más usuales, es un cac. Dos ejemplos, de cardinal dos, de cac son los conjuntos y . En efecto, y para su demostración basta ver que de las cinco conectivas del cac conocido, las que faltan en cada uno de los cac de cardinal dos pueden representarse solamente con ellas:

Conjuntos, relaciones y funciones[editar]

Cuestión CRF1. (2,5 puntos).

  • a) Proponga tres conjuntos , y , tales que , y . (0,5 puntos).
  • b) Según una encuesta realizada a un determinado grupo de estudiantes, ellos, ante dos asignaturas igualmente interesantes por sus contenidos, prefieren una a otra si el tiempo dedicado a su estudio es menor y prevén obtener una calificación mayor en el examen. En el caso de igualdad de tiempos y de previsiones, les son indiferentes. Estudie las propiedades de esta relación binaria. (2 puntos).

Estructuras algebraicas[editar]

Cuestión EA1. (2,5 puntos).
En el conjunto , considere la operación binaria: , definida por:

siendo la cifra de las unidades del producto habitual entre números naturales (por ejemplo, ).

  • a) Halle la tabla de Cayley de la operación sobre .
  • b) ¿Tiene estructura de grupo abeliano? (Puede razonar utilizando la tabla de la operación).
Solución:
  • a) He aquí la tabla de Cayley de la operación sobre :
  • b) Comprobemos si se satisfacen las exigencias para que sea grupo abeliano:
    • a) es cerrado para (también decimos que es una operación o ley de composición interna en ) pues para cualesquiera y en , . Razonar a partir de la tabla es sencillo: todos los números que aparecen son elementos de .
    • b) es asociativa en —podrían comprobarse todas las tríadas, , etc., pero resulta más fácil razonar a partir de la asociatividad del producto de números naturales: simplemente, , es cierto ya que en los productos entre naturales, al multiplicar unidad por unidad no hay que sumar ningún acarreo—;
    • c) es conmutativa (la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal);
    • d) el elemento neutro para en es como se observa al ser la primera fila y la primera columna iguales al encabezamiento horizontal y vertical, respectivamente;
    • e) no todo elemento es simetrizable —en la tabla, para un número determinado, solo hay que buscar qué otro número operado con él da el neutro (p. ej., el inverso de es porque )—: el simétrico del es el , el del , el , el del , el y el del , el , pero el no tiene simétrico —cualquiera de los otros números operado con es (se dice que es un elemento absorbente para en [como el cero para el producto de enteros]) y por tanto es imposible que resulte el neutro—.

    En definitiva, no tiene estructura de grupo abeliano (la tiene de monoide abeliano).


Cardinalidad[editar]

Cuestión C1. (2,5 puntos).
Demuestre, por definición, que es un conjunto infinito.

Solución:
Un conjunto es infinito precisamente si existe una biyección entre él y un subconjunto propio suyo (definición de Dedekind). Sea, por ejemplo, , definida por . Veamos que es una aplicación biyectiva. En efecto:
  • es aplicación , lo cual es trivial, ya que dado , por definición de , existe , siendo este único para cada , es decir, que si , por definición de , ;
  • es inyectiva , lo cual es trivial por definición de , pues si , es decir, si , entonces, ;
  • es sobreyectiva , lo cual también es trivial por definición de , ya que dado , es tal que .

Cuestión C2. (2,5 puntos).
Sabiendo que (enteros) es un conjunto numerable y que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, demuestre que (racionales) es numerable.

Solución:
es numerable pues lo podemos expresar como la unión numerable (por hipótesis, conocemos que la unión numerable de numerables es numerable), donde cada es numerable, ya que , definida por y es una biyección, por lo que tiene el mismo cardinal que (y por hipótesis, sabemos que es numerable). Obsérvese que cada conjunto representa todos los números racionales que tienen el mismo denominador .

Tema 2.- Números y sobre números[editar]

Teoría de números[editar]

Cuestión TN1. (2,5 puntos).
En base , halle las cifras para que el número sea divisible por .

Solución:
.

Un número es divisible por precisamente si lo es la suma de sus cifras:

esto es:
Además:
por lo que:
Hallamos, por tanto, qué diferencias satisfacen pertenecer a :
por lo que pueden suceder situaciones posibles:

Un número es divisible por precisamente si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es divisible entre :

esto es:
Además:
por lo que:
Hallamos, por tanto, qué diferencias satisfacen pertenecer a :
por lo que pueden suceder situaciones posibles:

Tenemos, entonces situaciones posibles:

Cuadro de posibles situaciones
Λ









No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10










No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10

Luego hay tres posibles soluciones: .

Así, los números posibles son: ,

divisibles entre , siendo sus cocientes respectivos: .


Cuestión TN2. (2,5 puntos).
Una empresa gastó euros en dispositivos electrónicos, algunos de última generación y máximas prestaciones. Compró teléfonos inteligentes a euros, tabletas a y portátiles a . ¿Cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Encuentre la solución utilizando la teoría de las ecuaciones:

  • a) diofánticas;
  • b) en congruencias.
Solución:
Traducida la información del enunciado a un sistema de ecuaciones lineales y simplificado este último:

  • a) Una ecuación diofántica lineal tiene solución precisamente si . En tal caso, una solución particular de la ecuación es:
    donde y y son los coeficientes de y en la combinación lineal igual a (identidad de Bèzout). La solución general de dicha ecuación es:
    donde es una solución particular y .
    El siguiente cuadro muestra la utilización del algoritmo extendido de Euclides para el caso que nos ocupa. La computación para cuando el resto es cero (en color rojo). El resto anterior, (en color rojo), es el máximo común divisor. Los coeficientes de Bézout son y (en color magenta). Los números en cian, y , sin considerar el signo, son los cocientes de los originales entre el máximo común divisor.
    índice i cociente qi−1 resto ri si ti
    0 99 1 0
    1 19 0 1
    2 99 ÷ 19 = 5 995 × 19 = 4 15 × 0 = 1 0 − 5 × 1 = −5
    3 19 ÷ 4 = 4 194 × 4 = 3 04 × 1 = −4 1 − 4 × (−5) = 21
    4 4 ÷ 3 = 1 41 × 3 = 1 11 × (−4) = 5 −5 − 1 × 21 = −26
    5 3 ÷ 1 = 3 33 × 1 = 0 −43 × 5 = -19 21 − 3 × (−26) = 99
    Por tanto, una solución particular es:

    y la solución general es:
    con .
    Ahora bien, ¿cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Veamos. Sabemos que y que . Por tanto, y , de donde y . Como , . Sustituyendo, obtenemos: , y .
    Sol.: teléfonos, tableta y portátiles.

  • b) Vista como una ecuación en congruencias, puede ser:
    O lo que es equivalente:
    Como , este camino nos lleva a que son posibles soluciones todos los múltiplos positivos de menores que : .
    Probemos otro camino. La ecuación diofántica también tiene otra vista como ecuación en congruencias:
    O lo que es equivalente:
    Como , tiene una solución única , que es:
    esto es,
    Explorando los residuos potenciales, encontramos que:
    de donde, multiplicando esta congruencia seis veces, miembro a miembro:
    y al ser transitiva la relación de congruencia:
    Es decir, (ya que ).
    Como , obtenemos que .
    Finalmente, de , tenemos que .
    Sol.: teléfonos, tableta y portátiles.

Cuestión TN3. (2,5 puntos).
Abigail quiere enviar a Balbina el mensaje más simple de llamada: eh. Solo puede transmitir números. Abigail y Balbina usan la posición de las letras en el alfabeto para codificarlas (así, Abigail codifica e como 06 y h como 08). Para cifrar y descifrar el mensaje, utilizarán RSA. Si Abigail elige como base para RSA, los primos y :

  • a) póngase en el papel de Abigail y obtenga el mensaje cifrado que debe enviar a Balbina;
  • b) póngase en el papel de Balbina y descifre el mensaje cifrado que Abigail le ha enviado.
Solución:
Sigamos los pasos del procedimiento RSA:
  • 1) , .
  • 2) .
  • 3) (phi de Euler de ).
  • 4) Hemos de elegir como clave secreta () un número coprimo con y menor que ; elegimos .
  • 5) La relación entre la clave secreta y la pública () es , en este caso: , por lo que .
  • 6) El mensaje (eh) codificado es 0608. Se puede demostrar que si el mensaje codificado , es tal que , entonces el mensaje cifrado , también es tal que . Como interesa codificar, después cifrar, a continuación descifrar y por último, decodificar, hemos de agrupar en bloques tales que su codificación individual sea menor o igual que . Sean y e e los respectivos bloques ya cifrados. De acuerdo al método RSA, el cifrado de se lleva a cabo solucionando la ecuación en congruencias y el descifrado de solucionando la ecuación .

Respondamos ahora a los dos apartados de la cuestión.

  • a) Pongámonos ahora en el papel de Abigail y obtengamos el mensaje cifrado que debemos enviar a Balbina. Cifremos : la solución de es . Cifremos : la solución de es . Así, el mensaje que debemos enviar es: 0608.
  • b) Pongámonos ahora en el papel de Balbina y descifremos el mensaje cifrado que Abigail nos ha enviado. Descifremos : la solución de es . Descifremos : la solución de es . Así, el mensaje que acabamos de descifrar es: 0608.

Cuestión TN4. (2,5 puntos).
Use la teoría de relaciones de congruencias para responder.

  • a) Demuestre que es divisible por , para cualquier . (1.25 p.)
  • b) Calcule el resto de dividir entre , para cualquier . (1.25 p.)
Solución:
Usemos la teoría de relaciones de congruencias.
  • a) Por un lado:


    Por otro:

    Sustituyendo en :

    lo que por definición de relación de congruencia, significa que es divisible por .
  • b) Por un lado:

    Por otro:

    De y , sumando miembro a miembro:

    En otras palabras, el resto pedido es .


(i) Por simétrica y transitiva de la relación de congruencia.
(ii) Elevando a ambos miembros.
(iii) Multiplicando por ambos miembros.
(iv) Multiplicando por cada miembro.
(v) Elevando a cada miembro.


Álgebra y cálculo numéricos[editar]

Cuestión ACN1. (2,5 puntos).
Halle un posible término general de la sucesión utilizando la interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas.

Solución:
Por costumbre de comenzar en , lo hacemos para y después ajustamos. Llamando a , el cuadro de diferencias divididas es el siguiente:

donde:
siendo la expresión general del polinomio interpolador:
o en forma recurrente:
Así:

  • , propuesta válida para , pero no ya para pues .
  • , válido para y pero no para ya que .
  • , que sí es válido ya para todos, incluso para , al ser .
  • La siguiente diferencia es cero, lo que confirma que el polinomio interpolador propuesto por este método sea de grado dos:

En fin, que comenzando en , el término general es , y ajustando para un comienzo en , tal como se pide, el término general es:

Sol.: .


Tema 3.- Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente[editar]

Combinatoria[editar]

Cuestión TC1. (2,5 puntos).
Sea el conjunto de los dígitos decimales, esto es, . Calcule:

  • a) El número de subconjuntos de cuyos elementos son todos números primos.
  • b) El número de subconjuntos de que tienen un número primo de elementos.
Solución:
  • a) Siendo , lo que se pide es en realidad el número de subconjuntos no vacíos de , esto es, restando uno (el conjunto vacío) al número total de subconjuntos de :
    Sol.: subconjuntos.
  • b) El número total de subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos viene dado por . Por tanto, recorriendo los elementos de que son primos:
    Sol.: subconjuntos.

Cuestión TC2. (2,5 puntos).
Un grupo de doce personas visita un museo. Todos llevan abrigo de lana. Al entrar, los dejan en el guardarropa. Al salir, el encargado pone sobre el mostrador los doce abrigos. Completamente distraídos por una conversación muy interesante, cada persona del grupo coge uno al azar. Emplee un razonamiento combinatorio para determinar de cuántas formas puede ocurrir que ninguno haya cogido su abrigo.

Solución:
Se trata de encontrar el número de desórdenes de objetos. En vez de para , vamos a calcularlo para . Sea . Siendo el conjunto de todas las permutaciones y el conjunto de todos los desórdenes que fijan elementos, entonces, el conjunto de todos los desórdenes es:

Veamos:

  • ¿Cuántas permutaciones fijan un número concreto? Pues las permutaciones de los otros , o sea, y como hay números, son las permutaciones que fijan un número cualquiera.
  • ¿Cuántas permutaciones fijan dos números concretos? Pues las permutaciones de los otros , o sea, y como hay formas de elegir dos números distintos entre , son las permutaciones que fijan dos números cualesquiera.

Observemos que en el caso , esto es, , al restar las que fijan el , se resta una vez las que fijan el y el y al restar las que fijan el se resta otra vez las que fijan el y el , por lo que hay que sumarlos una vez. Si seguimos este análisis, el número de permutaciones que no conserva ningún número en su lugar (desórdenes) es:

Así, para el caso de ser , existen:
desórdenes.
Sol.: De formas.


Cuestión TC3. (2,5 puntos).
Una urna contiene siete bolas numeradas del uno al siete. Las bolas se extraen todas, de una en una y sin reposición. A la par de las extracciones, se escriben las cifras resultantes por orden de salida y de izquierda a derecha. Razone con argumentos combinatorios cuántos números así formados empiezan y terminan por cifra par.

Solución:
Hay posiciones. En los extremos, las hipótesis obligan cifra par. Hay tres cifras pares entre y : , y . Guiándonos por los modelos de distribuciones de objetos en recipientes, pensemos en estos números (cajas distinguibles) y en los dos extremos (objetos distinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (como mucho un extremo por número, ya que no hay bolas con el mismo número). Para cada uno de estos casos en los extremos (cada una de las variaciones) hay que tener en cuenta todas las posibilidades en las posiciones intermedias. Estas posibilidades son las permutaciones de elementos (una nueva abstracción como objetos distinguibles [las posiciones intermedias] en recipientes distinguibles [los números , y y el par no presente en los extremos], esta vez siendo biyectiva la aplicación). Aplicando el principio del producto:

Sol.: números.


Cuestión TC4. (2,5 puntos).
En una reunión de diecisiete personas se realiza una votación secreta. Dos personas han emitido un voto nulo, tres un voto en blanco, cinco han votado en contra y siete a favor. Razone con argumentos combinatorios de cuántas formas ha podido suceder esto.

Solución:
Utilicemos el modelo de distribuciones no ordenadas de bolas en cajas, representando las bolas y las cajas a los votos y las personas, respectivamente. Pensemos en las personas (cajas distinguibles) y los votos síes (bolas indistinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (no más de un voto por persona) —alternativamente, podemos pensar en el número de subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos—. De cualquier forma, resultan maneras de distribuir los votos síes en las cajas. Para cada uno de los casos (cada una de las combinaciones), quedan cajas vacías. Ahora, razonando similarmente, hay formas de distribuir los votos noes en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, cajas vacías. Análogamente, hay maneras de distribuir los votos en blanco en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, cajas vacías, por lo que hay formas de colocar los votos nulos en las cajas. Aplicando el principio del producto:

Sol.: De formas.


Cuestión TC5. (2,5 puntos).
Emplee un razonamiento combinatorio para responder.

  • a) Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En base diez, ¿cuántos números de siete cifras son capicúas? (1.25 p.)
  • b) Supongamos una red en forma de polígono de nodos (vértices). Calcule , sabiendo que el número de aristas (lados + diagonales) es . (1.25 p.)
Solución:
  • a) Un número capicúa de siete cifras es de la forma , con . Para , hay posibilidades, para , , para , y para , otras . Por el principio multiplicativo, en total: .
  • b) Siendo el número de nodos, el número de aristas es el número de subconjuntos de dos elementos (cada arista al unir dos nodos, puede abstraerse como un subconjunto de dos elementos) de un conjunto de elementos (los nodos), esto es, por definición de combinación, . Entonces: . Por tanto, .

Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes)[editar]

Cuestión RR1. (2,5 puntos).
En , se define la suma de dos naturales y :

Demuestre que la solución de esta recurrencia es .

Solución:
Observemos que es ajena a la recursión. Así, de una manera más sencilla pero equivalente, denotando por , estamos ante una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes, con función constante en el segundo miembro de la igualdad:

  • a) Solución general de la homogénea:
    El polinomio característico es:
    por lo que, es raíz característica simple.
    La solución general de la homogénea es:
  • b) Solución particular de la no homogénea:
    Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
    pero al ser una contradicción, nos obliga a aumentar el grado. Intentémoslo con el polinomio de grado uno, . Sustituyendo:
    Así: