Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje

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Plan de aprendizaje universitario sobre matemática discreta y análisis numérico, apoyado en Wikipedia y con más fuentes de información en español e inglés.

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Índice

Introducción


«Le hablaba yo cierto día a un perito químico de la hipótesis de Avogrado respecto al número de moléculas de los gases en igual volumen, y a su relación con la ley llamada de Mariotte y a sus consecuencias en la química moderna, y hubo de contestarme: "¡Teorías, teorías! Todo eso a mí no me importa... Eso para los que hacen ciencia; yo me limito a aplicarla". Me callé, torturando mi magín para dar en cómo puede aplicarse ciencia sin hacerla, y al cabo, cuando pasado algún tiempo supe por qué había estado a la muerte nuestro perito, lo comprendí al cabo».
Miguel de Unamuno (1864-1936): De la enseñanza superior en España [On higher education in Spain], Madrid, Revista Nueva, 1899, http://www.liburuklik.euskadi.eus/handle/10771/24524, p. 45. También, en: Obras Completas de Miguel de Unamuno, Vol. VIII (Ensayos), pp. 1-58 (la cita, en la p. 32).

Glosario de abreviaturas[editar]

Ex ante I: Matemáticas e Informática[editar]

(Para ir abriendo boca)

— Arengas[editar]

— Matemáticas discretas[editar]

— Algoritmos[editar]

Ex ante II: Wikis temáticos[editar]

— Wikipedia (Puntos de partida)[editar]

— Otros:[editar]

Ex ante III: Titulados en Informática[editar]

Ex ante IIII: Conocimientos matemáticos preuniversitarios[editar]

Ex ante V: Miscelánea[editar]

Información general


— Universidades[editar]

— Universidad de Extremadura[editar]

Información específica


— Plan docente de la asignatura[editar]

— Horarios[editar]

— Texto básico[editar]

Matemática discreta[editar]

Para la parte dedicada a la matemática discreta, se recomienda adoptar como libro de texto:

Como este libro incluye la amplia mayoría del material de la asignatura —que, dicho sea de paso, se corresponde con los contenidos que se enseñan en la actualidad en cientos de universidades en el campo de la matemática discreta—, se recomienda a los estudiantes adoptarlo y estudiarlo. El libro de Rosen es, a la vez, un libro de texto y un libro de ejercicios con multitud de ejercicios y casos prácticos (ejercicios de programación, cálculo y experimentación). Puede, asimismo, ser considerado un libro guía al incluir múltiples lecturas sugeridas. A pesar de su espíritu enciclopédico, también es un manual al incluir listas de términos claves y resultados y cuestiones de repaso.

Por favor, tenga en cuenta que la anterior es una traducción de la quinta edición en inglés de Discrete Mathematics and Its Applications, 2003, ISBN 978-0-07-242434-8, © TDR (última edición traducida al español, por: José Manuel Pérez Morales, Julio Moro Carreño, Ana Isabel Lías Quintero y Pedro Antonio Ramos Alonc) (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/).

Importante: Dicho libro, en Estados Unidos, está en la séptima edición: Kenneth H. Rosen (2012) Discrete Mathematics and Its Applications, 7th edition (edición estadounidense), ISBN 978­-0­-07­-338309­-5, © TDR (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosen).
Existe también una edición internacional posterior, la Edición Global, en inglés, adaptada por Kamala Krithivasan, 2013, ISBN 978­-0­-07­-131501­2, © TDR (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosenGE), que, aunque también es una séptima edición, difiere de la estadounidense en incluir nuevos temas y en que los ejercicios están en diferente orden.
Como sabe, las nuevas ediciones actualizan y mejoran las anteriores, incluyendo eventualmente nuevo contenido, por lo que es muy recomendable que, dentro de lo posible (principalmente por cuestiones de conocimiento de otros idiomas), lea y estudie las nuevas versiones de las secciones y ejercicios, por ejemplo en las ediciones sexta (ISBN 978-0-07-288008-3, © ARR, página web de ayuda: http://highered.mheducation.com/sites/0072880082/information_center_view0/index.html), séptima (http://www.mhhe.com/rosen) y séptima global (http://www.mhhe.com/rosenGE). En estas páginas web, además, puede encontrarse, en inglés, entre otros materiales y recursos, formularios de autoevaluación y colecciones de ejercicios propuestos.

Por otro lado, este libro está acompañado por libros de soluciones de todos los ejercicios propuestos, en inglés, para la 5ª y 7ª ediciones estadounidenses:

Y también por los libros complementarios, en inglés, de exploración de los contenidos y de soluciones a lo propuesto en los epígrafes «ejercicios de programación» (computer projects) y «cálculo y experimentación» (computations and explorations), de la 7ª edición estadounidense:

Finalmente, desde las páginas web de ayuda mencionadas, puede llegarse y descargar el siguiente libro de aplicaciones de la matemática discreta, última edición pareada con la 6ª edición del de Rosen, en inglés, y en cualquier caso, para su estudio posterior una vez terminado este curso.

Cálculo numérico[editar]

Para la breve parte de cálculo numérico, se recomienda adoptar como libro de texto:

  • Chapra, Steven C., & Canale, Raymond P. (2007) Métodos numéricos para ingenieros (5ª edición internacional). México: McGraw-Hill/Interamericana editores, S.A. de C.V. ISBN-13: 978-970-10-6114-5. © TDR.

Nótese que aunque nosotros usaremos la quinta edición internacional, este libro actualmente está en su séptima edición http://www.mheducation.com/highered/product/numerical-methods-engineers-chapra-canale/M007339792X.html), también traducida al español (http://www.mheducation.es/9786071512949-spain-metodos-numericos-para-ingenieria). Página web de ayuda: http://www.mhhe.com/engcs/general/chapra/

— Comunicación[editar]

Proyectos educativos en Wikipedia


(Actividades no presenciales opcionales)

— En la Wikipedia en español[editar]

— En la Wikipedia en inglés[editar]

— Comunicación[editar]

Para estar al tanto, sígue las recomendaciones dadas en la página del proyecto en la Wikipedia en español o en inglés, según sea el caso. Además, también es recomendable que añadas las páginas de discusión:

  • de la página del proyecto en el que estés,
  • de las páginas de usuario de los participantes en el mismo,
  • de los cuadernos de bitácora de estos últimos.

Contenidos y caminos de aprendizaje en Wikipedia


«¿Me contradigo?
Muy bien, entonces me contradigo,
(Soy grande, contengo multitudes.)»
Walt Whitmann (1819-1892): Song of Myself (en Leaves of Grass, 1855)

Consideraciones[editar]

Índice y caminos en Wikipedia[editar]

Tema 1.- Fundamentos

Tema 2.- Números y sobre números

Tema 3.- Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente

Tema 4.- Visualizando relaciones

Algo más

Lógica[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 3.1 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulo 1 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Software[editar]

Véase también[editar]

En español:

En inglés:

  • KDEM.DA.HD.703-01.pdf (download) (matching tables for corresponding exercises from the 5th, 6th, 7th and 7th global editions of Rosen's book Discrete mathematics and its applications, Chapter 1 on The Foundations: Logic and Proofs)

---

Para saber más[editar]

  1. Portal:Lógica (en inglés: Portal:Logic)
  2. Portal:Pensamiento (en inglés: Portal:Thinking)
  3. Y más:
    1. Forma normal prenexa
    2. Esbozo de la lógica (en inglés: Outline of logic)
    3. Conceptos en lógica
    4. Álgebra de Boole
    5. Puertas lógicas
    6. Wikiproyecto:Lógica (en inglés: Wikipedia:WikiProject Logic)
    7. Categoría:Lógica (categoría de Wikipedia)
    8. Categoría:Lógica matemática (categoría de Wikipedia)

Conjuntos, relaciones y funciones[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Secciones 2.1, 2.2, 2.3, Capítulo 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Para saber más[editar]

  1. Portal:Teoría de conjuntos (en inglés: w:Portal:Set theory)
  2. Y más:
    1. Categoría:Teoría de conjuntos(categoría de Wikipedia)

Estructuras algebraicas[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 9 «Operaciones», 24 ejercicios resueltos; Capítulo 10 «Grupos-Estructura», 154 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 1 «Estructura de anillo», 40 ejercicios resueltos; Capítulo 4 «Estructura de cuerpo», 32 ejercicios resueltos), 1982. ISBN: 84-300-6417-6.
  • Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla. Álgebra básica. Notas de teoría. http://www.algebra.us.es/Documentos/AB_1011_Teoria
  • —¤— José García García y Manuel López Pellicer. Álgebra lineal y geometría. Curso teórico-práctico. 7ª edición. Marfil, Alcoy, España. ISBN: 84-268-0269-9.
  • —¤— RTVE (): «La aventura del saber». Serie: «Más por menos». Capítulo: «La geometría se hace arte» (Guión + presentación = Antonio Pérez) (Minuto 5,22, la Alhambra, sus mosaicos y la teoría de grupos; recomendación: ver el capítulo completo). © gratisOA. Disponible en: http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-geometria-se-hace-arte/1291007/

En inglés:

Para saber más[editar]

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)
  2. Y más:
    1. Grupo simétrico
    2. Multiplicative group of integers modulo n (grupo multiplicativo de enteros módulo n) (en inglés)

Cardinalidad[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Secciones 2.5, 5.1, 5.2, 5.3 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Véase también[editar]

Para saber más[editar]

  1. Portal:Teoría de conjuntos (en inglés: Portal:Set theory)
  2. Y más:
    1. Teoría de conjuntos (categoría de Wikipedia)

Teoría de números[editar]

Conceptos claves[editar]

Divisibilidad[editar]
Primos[editar]
Ecuaciones diofánticas, sistemas de ecuaciones diofánticas y sobre sus soluciones[editar]
Aritmética modular[editar]
Ecuaciones en congruencias, sistemas de ecuaciones en congruencias y sobre sus soluciones[editar]
Criptografía[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 7 «Divisibilidad en y », 94 ejercicios resueltos; Capítulo 8 «Ecuaciones diofánticas», 27 ejercicios resueltos; Capítulo 9 «Sistemas de numeración», 25 ejercicios resueltos), 1982. ISBN: 84-300-6417-6.
  • —¤— Francisco José González Gutiérrez. Apuntes de matemática discreta. 12. Ecuaciones diofánticas. Universidad de Cádiz, Cádiz, España, 2004. http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf
  • —¤— Francisco José González Gutiérrez. Apuntes de matemática discreta. 13. Clases de restos módulo m. Universidad de Cádiz, Cádiz, España, 2004. http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion13.pdf
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Secciones 2.4, 2.5, 2.6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Thomas Koshy. Elementary number theory with applications. Academic Press (marca de Elsevier Inc.), Nueva York, Estados Unidos, 2ª edición, 2007, ISBN: 978-0-12-372487-8
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7th edition. (Capítulo 4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
  • Kenneth A. Rosen. Elementary number theory and its applications. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, Estados Unidos, 1986, ISBN 0-201-06561

Véase también[editar]

Para saber más[editar]

  1. The Number Theory Portal(portal de teoría de números) (en inglés)
  2. The Cryptography Portal(portal de criptografía) (en inglés)
  3. Y más:
    1. Divisibilidad
      1. Algorithms for division (algoritmos para la división) (en inglés)
    2. Primalidad
      1. Residuos cuadráticos
      2. Ley de reciprocidad cuadrática
      3. Tests de primalidad
    3. Generación de números pseudoaleatorios
      1. Linear congruential generators (generadores basados en congruencias lineales) (en inglés)
      2. Combined linear congruential generators (combinaciones de generadores basados en congruencias lineales) (en inglés)
      3. Inversive congruential generator (generador «inversivo» basado en congruencias) (no lineal) (en inglés)
      4. Generalized inversive congruential pseudorandom numbers (no lineal) (generador «inversivo» basado en congruencias generalizado) (en inglés)
      5. List of random number generators (lista de generadores de números aleatorios) (en inglés)
    4. Criptografía
      1. Highly totient numbers (en inglés)
      2. Números altamente compuestos (Platón, Ramanujan)
      3. Números lisos (Adleman)
      4. Finch's rough numbers (números toscos) (en inglés)
      5. Semiprimos
      6. Criptografía de curva elíptica
    5. List of prime numbers (lista de números primos) (en inglés)
    6. List of notable numbers (lista de números notables) (en inglés)
    7. Portal: Number theory (en inglés)

Álgebra y cálculo numéricos[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

Para saber más[editar]

  1. Portal:Análisis (en inglés: Portal:Analysis)

Teoría combinatoria[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 8 «Combinatoria», 31 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
  • L. Barrios Calmaestra. Combinatoria. En: Proyecto Descartes. Ministerio de Educación. Gobierno de España. 2007. (Acceso abierto). http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/combinatoria.htm
  • M. Delgado Pineda. Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Combinatoria: Variaciones, Permutaciones y Combinaciones. Potencias de un binomio. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. (CC by-nc-nd). http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema5.pdf
  • I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sánchez Navas and C. Valero Franco. Estadística Descriptiva y Probabilidad. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz (Apéndice 1: Combinatoria). 2006. (GNU FDL). http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/lib_edyp.apendices.pdf
  • —¤— José Ramón Franco Brañas, María Candelaria Espinel Febles y Pedro Ramón Almeida Benítez. Manual de combinatoria. @becedario, Badajoz, España, 2008. ISBN: 978-84-96560-73-4
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

Véase también[editar]

(y su relación con el Change ringing).

Para saber más[editar]

  1. Portal de Matemáticas discretas (en inglés: The Discrete Mathematics Portal)
  2. Y más:
    1. Números de Catalan
    2. Funciones generatrices
    3. Ejemplos de funciones generatrices
    4. Combinatoria enumerativa (categoría en Wikipedia)

Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes)[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

Para saber más[editar]

  1. Sucesiones de números enteros
  2. Lista de sucesiones de la OEIS (en inglés: List of OEIS sequences (lista de sucesiones de enteros en la OEIS que tienen su propia entrada en la Wikipedia en inglés)
  3. Index to OEIS: Section Recurrent Sequencies

Grafos[editar]

Conceptos claves[editar]

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos[editar]

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulos 10 y 11 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Para saber más[editar]

  1. Portal:Matemáticas discretas (en inglés: Portal:Discrete mathematics)

Píldoras complementarias de conocimiento[editar]

Big data (macrodatos / inteligencia de datos)[editar]

Conjeturas, problemas abiertos e imaginación[editar]

Historia[editar]

Paradojas[editar]

Minihackatones (miniencuentros intensivos de aprendizaje en colaboración)[editar]

Por ahora, aquí: http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php/Epistemowikia:Plan_de_aprendizaje/Ampliaci%C3%B3n_de_Matem%C3%A1ticas_-_Further_Mathematics/Taller#Minihackatones (dependiendo de Wikipedia, podría estar aquí: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje/Taller#Minihackatones).

Ejemplos de examen y algunas soluciones


«Es indiscutible que cuanto más se esfuerce individualmente el estudiante, más a fondo aprenderá lo estudiado». Timothy J. Fitikides: Common mistakes in English, Longmans, 6ª edición, 2000, p. vii.

  • Los siguientes ejercicios con solución son ejemplos de posibles cuestiones de examen. Deberías poder resolver cualquiera de ellos en un máximo de 30 minutos. Es muy importante que tengas en cuenta que en un examen pueden plantearse cuestiones sobre cualquiera de los diferentes temas trabajados en clase, teóricas (incluyendo demostraciones vistas de teoremas) o prácticas. La concreción de las cuestiones que aparecen en los ejemplos siguientes, no implica, en ningún caso, un recorte de los contenidos a estudiar.
  • Considera también que estos ejercicios te pueden ayudar a encontrar ejemplos o casos de uso para ilustrar tus contribuciones al proyecto con Wikipedia.

Parte 1: Temas 1 y 2[editar]

Ejemplo de examen, 1[editar]

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Con la ayuda de la lógica proposicional, demuestre si el siguiente argumento es o no válido: «Este programa compilará siempre que hayamos declarado las variables. Eso sí, declararemos las variables precisamente si no se nos olvida hacerlo. Resulta que el programa no ha compilado. Entonces es que hemos olvidado declarar las variables».
Importante: No lo haga por el método de las tablas de verdad.

Solución:
Puede consultarse la solución completa mediante tablas semánticas de un ejemplo tipo en este documento.

Cuestión 2. (2,5 puntos).

  • a) Proponga tres conjuntos , y , tales que , y . (0,5 puntos).
  • b) Según una encuesta realizada a un determinado grupo de estudiantes, ellos, ante dos asignaturas igualmente interesantes por sus contenidos, prefieren una a otra si el tiempo dedicado a su estudio es menor y prevén obtener una calificación mayor en el examen. En el caso de igualdad de tiempos y de previsiones, les son indiferentes. Estudie las propiedades de esta relación binaria. (2 puntos).

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Halle un posible término general de la sucesión utilizando la interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas.

Solución:
Por costumbre de comenzar en , lo hacemos para y después ajustamos. Llamando a , el cuadro de diferencias divididas es el siguiente:

donde:
siendo la expresión general del polinomio interpolador:
o en forma recurrente:
Así:

  • , propuesta válida para , pero no ya para pues .
  • , válido para y pero no para ya que .
  • , que sí es válido ya para todos, incluso para , al ser .
  • La siguiente diferencia es cero, lo que confirma que el polinomio interpolador propuesto por este método sea de grado dos:

En fin, que comenzando en , el término general es , y ajustando para un comienzo en , tal como se pide, el término general es:

Sol.: .


Cuestión 4. (2,5 puntos).
En base , halle las cifras para que el número sea divisible por .

Solución:
.

Un número es divisible por precisamente si lo es la suma de sus cifras:

esto es:
Además:
por lo que:
Hallamos, por tanto, qué diferencias satisfacen pertenecer a :
por lo que pueden suceder situaciones posibles:

Un número es divisible por precisamente si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es divisible entre :

esto es:
Además:
por lo que:
Hallamos, por tanto, qué diferencias satisfacen pertenecer a :
por lo que pueden suceder situaciones posibles:

Tenemos, entonces situaciones posibles:

Cuadro de posibles situaciones
Λ









No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10










No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10

Luego hay tres posibles soluciones: .

Así, los números posibles son: ,

divisibles entre , siendo sus cocientes respectivos: .


Ejemplo de examen, 2[editar]

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).

  • a) Defina conjunto adecuado de conectivas (cac), también llamado conjunto completamente expresivo o funcionalmente completo de conectivas.
  • b) Proporcione dos ejemplos de cac de cardinal dos, razonando por qué lo son, suponiendo conocido el cac de las cinco conectivas más usuales .
Solución:
  • a) En Lógica Proposicional, un conjunto adecuado de conectivas (cac) es cualquier conjunto de conectivas tal que todas las conectivas de la lógica puedan representarse en función, únicamente, de las del conjunto.
  • b) Como dice el enunciado de la cuestión, suponemos conocido que el conjunto de las conectivas más usuales, es un cac. Dos ejemplos, de cardinal dos, de cac son los conjuntos y . En efecto, y para su demostración basta ver que de las cinco conectivas del cac conocido, las que faltan en cada uno de los cac de cardinal dos pueden representarse solamente con ellas:

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Demuestre, por definición, que es un conjunto infinito.

Solución:
Un conjunto es infinito precisamente si existe una biyección entre él y un subconjunto propio suyo (definición de Dedekind). Sea, por ejemplo, , definida por . Veamos que es una aplicación biyectiva. En efecto:
  • es aplicación , lo cual es trivial, ya que dado , por definición de , existe , siendo este único para cada , es decir, que si , por definición de , ;
  • es inyectiva , lo cual es trivial por definición de , pues si , es decir, si , entonces, ;
  • es sobreyectiva , lo cual también es trivial por definición de , ya que dado , es tal que .

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Abigail quiere enviar a Balbina el mensaje más simple de llamada: eh. Solo puede transmitir números. Abigail y Balbina usan la posición de las letras en el alfabeto para codificarlas (así, Abigail codifica e como 06 y h como 08). Para cifrar y descifrar el mensaje, utilizarán RSA. Si Abigail elige como base para RSA, los primos y :

  • a) póngase en el papel de Abigail y obtenga el mensaje cifrado que debe enviar a Balbina;
  • b) póngase en el papel de Balbina y descifre el mensaje cifrado que Abigail le ha enviado.
Solución:
Sigamos los pasos del procedimiento RSA:
  • 1) , .
  • 2) .
  • 3) (phi de Euler de ).
  • 4) Hemos de elegir como clave secreta () un número coprimo con y menor que ; elegimos .
  • 5) La relación entre la clave secreta y la pública () es , en este caso: , por lo que .
  • 6) El mensaje (eh) codificado es 0608. Se puede demostrar que si el mensaje codificado , es tal que , entonces el mensaje cifrado , también es tal que . Como interesa codificar, después cifrar, a continuación descifrar y por último, decodificar, hemos de agrupar en bloques tales que su codificación individual sea menor o igual que . Sean y e e los respectivos bloques ya cifrados. De acuerdo al método RSA, el cifrado de se lleva a cabo solucionando la ecuación en congruencias y el descifrado de solucionando la ecuación .

Respondamos ahora a los dos apartados de la cuestión.

  • a) Pongámonos ahora en el papel de Abigail y obtengamos el mensaje cifrado que debemos enviar a Balbina. Cifremos : la solución de es . Cifremos : la solución de es . Así, el mensaje que debemos enviar es: 0608.
  • b) Pongámonos ahora en el papel de Balbina y descifremos el mensaje cifrado que Abigail nos ha enviado. Descifremos : la solución de es . Descifremos : la solución de es . Así, el mensaje que acabamos de descifrar es: 0608.

Cuestión 4. (2,5 puntos).
Una empresa gastó euros en dispositivos electrónicos, algunos de última generación y máximas prestaciones. Compró teléfonos inteligentes a euros, tabletas a y portátiles a . ¿Cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Encuentre la solución utilizando la teoría de las ecuaciones:

  • a) diofánticas;
  • b) en congruencias.
Solución:
Traducida la información del enunciado a un sistema de ecuaciones lineales y simplificado este último:

  • a) Una ecuación diofántica lineal tiene solución precisamente si . En tal caso, una solución particular de la ecuación es:
    donde y y son los coeficientes de y en la combinación lineal igual a (identidad de Bèzout). La solución general de dicha ecuación es:
    donde es una solución particular y .
    El siguiente cuadro muestra la utilización del algoritmo extendido de Euclides para el caso que nos ocupa. La computación para cuando el resto es cero (en color rojo). El resto anterior, (en color rojo), es el máximo común divisor. Los coeficientes de Bézout son y (en color magenta). Los números en cian, y , sin considerar el signo, son los cocientes de los originales entre el máximo común divisor.
    índice i cociente qi−1 resto ri si ti
    0 99 1 0
    1 19 0 1
    2 99 ÷ 19 = 5 995 × 19 = 4 15 × 0 = 1 0 − 5 × 1 = −5
    3 19 ÷ 4 = 4 194 × 4 = 3 04 × 1 = −4 1 − 4 × (−5) = 21
    4 4 ÷ 3 = 1 41 × 3 = 1 11 × (−4) = 5 −5 − 1 × 21 = −26
    5 3 ÷ 1 = 3 33 × 1 = 0 −43 × 5 = -19 21 − 3 × (−26) = 99
    Por tanto, una solución particular es:

    y la solución general es:
    con .
    Ahora bien, ¿cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Veamos. Sabemos que y que . Por tanto, y , de donde y . Como , . Sustituyendo, obtenemos: , y .
    Sol.: teléfonos, tableta y portátiles.

  • b) Vista como una ecuación en congruencias, puede ser:
    O lo que es equivalente:
    Como , este camino nos lleva a que son posibles soluciones todos los múltiplos positivos de menores que : .
    Probemos otro camino. La ecuación diofántica también tiene otra vista como ecuación en congruencias:
    O lo que es equivalente:
    Como , tiene una solución única , que es:
    esto es,
    Explorando los residuos potenciales, encontramos que:
    de donde, multiplicando esta congruencia seis veces, miembro a miembro:
    y al ser transitiva la relación de congruencia:
    Es decir, (ya que ).
    Como , obtenemos que .
    Finalmente, de , tenemos que .
    Sol.: teléfonos, tableta y portátiles.


Parte 2: Temas 3 y 4[editar]

Ejemplo de examen, 1[editar]

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Sea el conjunto de los dígitos decimales, esto es, . Calcule:

  • a) El número de subconjuntos de cuyos elementos son todos números primos.
  • b) El número de subconjuntos de que tienen un número primo de elementos.
Solución:
  • a) Siendo , lo que se pide es en realidad el número de subconjuntos no vacíos de , esto es, restando uno (el conjunto vacío) al número total de subconjuntos de :
    Sol.: subconjuntos.
  • b) El número total de subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos viene dado por . Por tanto, recorriendo los elementos de que son primos:
    Sol.: subconjuntos.

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Un grupo de doce personas visita un museo. Todos llevan abrigo de lana. Al entrar, los dejan en el guardarropa. Al salir, el encargado pone sobre el mostrador los doc$e abrigos. Completamente distraídos por una conversación muy interesante, cada persona del grupo coge uno al azar. Emplee un razonamiento combinatorio para determinar de cuántas formas puede ocurrir que ninguno haya cogido su abrigo.

Solución:
Se trata de encontrar el número de desórdenes de objetos. En vez de para , vamos a calcularlo para . Sea . Siendo el conjunto de todas las permutaciones y el conjunto de todos los desórdenes que fijan elementos, entonces, el conjunto de todos los desórdenes es:

Veamos:

  • ¿Cuántas permutaciones fijan un número concreto? Pues las permutaciones de los otros , o sea, y como hay números, son las permutaciones que fijan un número cualquiera.
  • ¿Cuántas permutaciones fijan dos números concretos? Pues las permutaciones de los otros , o sea, y como hay formas de elegir dos números distintos entre , son las permutaciones que fijan dos números cualesquiera.

Observemos que en el caso , esto es, , al restar las que fijan el , se resta una vez las que fijan el y el y al restar las que fijan el se resta otra vez las que fijan el y el , por lo que hay que sumarlos una vez. Si seguimos este análisis, el número de permutaciones que no conserva ningún número en su lugar (desórdenes) es:

Así, para el caso de ser , existen:
desórdenes.
Sol.: De formas.


Cuestión 3. (2,5 puntos).
En , se define la suma de dos naturales y :

Demuestre que la solución de esta recurrencia es .

Solución:
Observemos que es ajena a la recursión. Así, de una manera más sencilla pero equivalente, denotando por , estamos ante una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes, con función constante en el segundo miembro de la igualdad:

  • a) Solución general de la homogénea:
    El polinomio característico es:
    por lo que, es raíz característica simple.
    La solución general de la homogénea es:
  • b) Solución particular de la no homogénea:
    Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
    pero al ser una contradicción, nos obliga a aumentar el grado. Intentémoslo con el polinomio de grado uno, . Sustituyendo:
    Así:
    es una solución particular de la no homogénea.
  • c) Solución general de la no homogénea:
  • d) Incorporación de las condiciones iniciales: Se sabe que . Por tanto:
    Sustituyendo en (1), obtenemos la solución buscada:
    es decir:

Cuestión 4. (2,5 puntos).
En el conjunto , considere la operación binaria: , definida por:

siendo la cifra de las unidades del producto habitual entre números naturales (por ejemplo, ).

  • a) Halle la tabla de Cayley de la operación sobre .
  • b) ¿Tiene estructura de grupo abeliano? (Puede razonar utilizando la tabla de la operación).
Solución:
  • a) He aquí la tabla de Cayley de la operación sobre :
  • b) Comprobemos si se satisfacen las exigencias para que sea grupo abeliano:
    • a) es cerrado para (también decimos que es una operación o ley de composición interna en ) pues para cualesquiera y en , . Razonar a partir de la tabla es sencillo: todos los números que aparecen son elementos de .
    • b) es asociativa en —podrían comprobarse todas las tríadas, , etc., pero resulta más fácil razonar a partir de la asociatividad del producto de números naturales: simplemente, , es cierto ya que en los productos entre naturales, al multiplicar unidad por unidad no hay que sumar ningún acarreo—;
    • c) es conmutativa (la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal);
    • d) el elemento neutro para en es como se observa al ser la primera fila y la primera columna iguales al encabezamiento horizontal y vertical, respectivamente;
    • e) no todo elemento es simetrizable —en la tabla, para un número determinado, solo hay que buscar qué otro número operado con él da el neutro (p. ej., el inverso de es porque )—: el simétrico del es el , el del , el , el del , el y el del , el , pero el no tiene simétrico —cualquiera de los otros números operado con es (se dice que es un elemento absorbente para en [como el cero para el producto de enteros]) y por tanto es imposible que resulte el neutro—.

    En definitiva, no tiene estructura de grupo abeliano (la tiene de monoide abeliano).


Ejemplo de examen 2[editar]

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Una urna contiene siete bolas numeradas del uno al siete. Las bolas se extraen todas, de una en una y sin reposición. A la par de las extracciones, se escriben las cifras resultantes por orden de salida y de izquierda a derecha. Razone con argumentos combinatorios cuántos números así formados empiezan y terminan por cifra par.

Solución:
Hay posiciones. En los extremos, las hipótesis obligan cifra par. Hay tres cifras pares entre y : , y . Guiándonos por los modelos de distribuciones de objetos en recipientes, pensemos en estos números (cajas distinguibles) y en los dos extremos (objetos distinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (como mucho un extremo por número, ya que no hay bolas con el mismo número). Para cada uno de estos casos en los extremos (cada una de las variaciones) hay que tener en cuenta todas las posibilidades en las posiciones intermedias. Estas posibilidades son las permutaciones de elementos (una nueva abstracción como objetos distinguibles [las posiciones intermedias] en recipientes distinguibles [los números , y y el par no presente en los extremos], esta vez siendo biyectiva la aplicación). Aplicando el principio del producto:

Sol.: números.


Cuestión 2. (2,5 puntos).
En una reunión de diecisiete personas se realiza una votación secreta. Dos personas han emitido un voto nulo, tres un voto en blanco, cinco han votado en contra y siete a favor. Razone con argumentos combinatorios de cuántas formas ha podido suceder esto.

Solución:
Utilicemos el modelo de distribuciones no ordenadas de bolas en cajas, representando las bolas y las cajas a los votos y las personas, respectivamente. Pensemos en las personas (cajas distinguibles) y los votos síes (bolas indistinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (no más de un voto por persona) —alternativamente, podemos pensar en el número de subconjuntos de elementos de un conjunto de elementos—. De cualquier forma, resultan maneras de distribuir los votos síes en las cajas. Para cada uno de los casos (cada una de las combinaciones), quedan cajas vacías. Ahora, razonando similarmente, hay formas de distribuir los votos noes en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, cajas vacías. Análogamente, hay maneras de distribuir los votos en blanco en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, cajas vacías, por lo que hay formas de colocar los votos nulos en las cajas. Aplicando el principio del producto:

Sol.: De formas.


Cuestión 3. (2,5 puntos).
Sean e los números totales de software malicioso pertenecientes a dos tipos de malware, en la hora , que coexisten en una cierta red de área extensa (wide area network, WAN) sometida a control horario de evolución de malware. Supongamos que las poblaciones iniciales eran e y que la evolución de la coexistencia sigue la regla:

  • cada hora, el crecimiento del malware de tipo es la suma del triple del crecimiento de en la hora anterior y del crecimiento de también en hora anterior más siete nuevos malware (que son clasificados como de tipo ),
  • y también cada hora, el crecimiento del malware de tipo es el resultado de restar el crecimiento de en la hora anterior del crecimiento de en la hora anterior, más tres nuevos malware (que son clasificados como de tipo ).

Encuentre y resuelva el sistema de ecuaciones de recurrencia correspondiente a la evolución del malware.

Solución:
Analicemos la evolución del malware en función del crecimiento del mismo (el enunciado no especifica que sea en función de las poblaciones y así es más sencillo al disminuir en una unidad de tiempo el orden de la relación de recurrencia). Denotemos por e los crecimientos desde la hora a la hora , o sea, e . El sistema de ecuaciones recurrentes lineales correspondiente a la situación que se plantea es:

  • a) Cálculo de :
    De la primera ecuación:
    Sustituyendo (2) en (4):
    Sustituyendo (3) en esta última, simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes y con función constante en el segundo miembro de la igualdad:
    • a.1) Solución general de la homogénea:
      El polinomio característico es:
      es decir:
      así, es raíz característica doble.
      La solución general de la homogénea es:
    • a.2) Solución particular de la no homogénea:
      Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
      por lo que . Así:
      es una solución particular de la no homogénea.
    • a.3) Solución general de la no homogénea:
  • b) Cálculo de :
    Sustituyendo (5) en (1), simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos:
  • c) Incorporación de las condiciones iniciales:
    Se sabe que y . Por tanto:
    Por otro lado:
    de donde, sustituyendo (6) en (7):
  • d) Solución del caso planteado (evolución del malware en función del crecimiento del mismo):
    donde e son las poblaciones de ambos tipos de malware al finalizar la primera hora (datos no proporcionados en el enunciado).

Cuestión 4. (2,5 puntos).
El grafo adjunto representa las conexiones entre cuatro estaciones de tranvía. Se pide que usted:

  • a) Escriba la matriz de adyacencia de dicho grafo.
  • b) Interprete las matrices y (razone qué situaciones representan).
  • c) Razone, a partir de tales representaciones matriciales, si dicho grafo es o no fuertemente conexo.
  • d) Razone, a partir de dichas representaciones matriciales, cuál es la longitud del camino más corto desde a y cuántos pueden considerarse los «más cortos».
+—+       +—+
|D| <———> |C|
+—+       +—+
    \      ⋀
     \     |
      \    |
       \   |
        ╶┘ |
+—+       +—+
|A| <———> |B|
+—+       +—+
Solución:
  • a) La matriz de adyacencia de dicho grafo es:
    Formalizamos la matriz de adyacencia del grafo, haciendo correspoonder los subíndices posicionales , , y de sus elementos a las etiquetas , , y , de forma que, por ejemplo, corresponde a una posible trayectoria de a , . De esta forma, cada elemento de indica el número de conexiones directas ---sin paradas intermedias (caminos de longitud uno en el grafo)--- entre las estaciones de tranvía correspondientes a y , en el sentido . Así, se interpreta como la existencia de una conexión directa de a , , esto es, , mientras que corresponde a la no existencia de una conexión directa de a , , esto es, .
  • b) Las potencias y de son:
    Cada elemento de indica el número de conexiones con una estación intermedia (caminos de longitud dos en el grafo) desde la estación correspondiente a a la estación correspondiente a , según la formalización anterior. Similarmente, cada elemento de indica el número de conexiones con dos estaciones intermedias (caminos de longitud tres en el grafo) desde la estación correspondiente a a la estación correspondiente a , también según la formalización anterior.
  • c) Ser un grafo fuertemente conexo significa que existe un camino desde cualquier vértice a cualquier vértice. Por otro lado, dado un grafo , con vértices, puede saberse si existe algún camino desde el vértice al vértice , independientemente de la longitud, según sea el término de la matriz , ya que este da el número total de caminos desde a (si para algún y fuese , no existiría ningún camino desde a y el grafo no sería fuertemente conexo).
    El grafo que nos ocupa, , de vértices, sí es fuertemente conexo porque no tiene elementos nulos:
    lo que significa que dos estaciones cualesquiera están conectadas, sea directamente o indirectamente con una o dos paradas intermedias. De hecho, para este grafo particular, tampoco tiene elementos nulos:
    esto es, cualesquiera dos estaciones están conectadas por trayectorias con una o dos paradas intermedias.
  • d) Notando por el término de posición de la matriz , observamos que y , siendo este el primero distinto de cero, por lo que, camino más corto, solo hay uno y tiene dos paradas intermedias.

Todo: Temas 1, 2, 3 y 4 Ambox warning green construction.svg[editar]

Ejemplo de examen 1[editar]

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
En la isla de los caballeros y truhanes hay dos clases de habitantes, los «caballeros», que siempre dicen la verdad y los «truhanes», que siempre mienten. Se supone que todo habitante de la isla es un caballero o un truhán. Había dos habitantes, y , de pie en el jardín delantero de una casa. Usted, que pasaba por allí, les preguntó: «¿Son ustedes caballeros o truhanes?»

  • a) contestó: «Si es un caballero, entonces yo soy un truhán». ¿Puede determinarse si y eran caballeros o truhanes? (1.25 p.)
  • b) Seguidamente, dijo: «No crea a ; él miente». Con esta nueva información, ¿puede determinarse si y eran caballeros o truhanes? (1.25 p.)
Solución:
Usemos en vez de « es un caballero» ---por tanto, significa « es un truhán»---.
  • a) La afirmación de , «Si es un caballero, entonces yo soy un truhán», se formaliza como y el hecho de que lo diga, como . A la vista de la tabla de verdad:
    el único modelo para es la 2ª interpretación, por tanto puede determinarse que es un caballero y un truhán.
  • b) La afirmación de , «No crea a ; él miente», es equivalente a « es un truhán», que se formaliza como y el hecho de que lo diga como , que lo único que dice es que y no pueden ser ambos caballeros ni ambos truhanes, lo que no nos aporta nada nuevo, como era de esperar al estar ya determinado. En efecto, a la vista de la tabla de verdad:
    observamos que todo sigue igual, de nuevo la 2ª interpretación es un modelo, ahora para .

Ejemplo de examen 2[editar]

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Sabiendo que (enteros) es un conjunto numerable y que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, demuestre que (racionales) es numerable.

Solución:
es numerable pues lo podemos expresar como la unión numerable (por hipótesis, conocemos que la unión numerable de numerables es numerable), donde cada es numerable, ya que , definida por y es una biyección, por lo que tiene el mismo cardinal que (y por hipótesis, sabemos que es numerable). Obsérvese que cada conjunto representa todos los números racionales que tienen el mismo denominador .

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Use la teoría de relaciones de congruencias para responder.

  • a) Demuestre que es divisible por , para cualquier . (1.25 p.)
  • b) Calcule el resto de dividir entre , para cualquier . (1.25 p.)
Solución:
Usemos la teoría de relaciones de congruencias.
  • a) Por un lado:


    Por otro:

    Sustituyendo en :

    lo que por definición de relación de congruencia, significa que es divisible por .
  • b) Por un lado:

    Por otro:

    De y , sumando miembro a miembro:

    En otras palabras, el resto pedido es .


(i) Por simétrica y transitiva de la relación de congruencia.
(ii) Elevando a ambos miembros.
(iii) Multiplicando por ambos miembros.
(iv) Multiplicando por cada miembro.
(v) Elevando a cada miembro.


Cuestión 5. (2,5 puntos).
Emplee un razonamiento combinatorio para responder.

  • a) Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En base diez, ¿cuántos números de siete cifras son capicúas? (1.25 p.)
  • b) Supongamos una red en forma de polígono de nodos (vértices). Calcule , sabiendo que el número de aristas (lados + diagonales) es . (1.25 p.)
Solución:
  • a) Un número capicúa de siete cifras es de la forma , con . Para , hay posibilidades, para , , para , y para , otras . Por el principio multiplicativo, en total: .
  • b) Siendo el número de nodos, el número de aristas es el número de subconjuntos de dos elementos (cada arista al unir dos nodos, puede abstraerse como un subconjunto de dos elementos) de un conjunto de elementos (los nodos), esto es, por definición de combinación, . Entonces: . Por tanto, .

Véase también[editar]

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«Los verdaderos poemas del cante jondo no son de nadie,
están flotando en el viento como vilanos de oro
y cada generación los viste de un color distinto,
para abandonarlos a las futuras».
Federico García Lorca (1898-1936): Importancia histórica y artística del primitivo canto andaluz llamado «cante jondo». (Conferencia leída en el «Centro Artístico» de Granada, el 19 de febrero de 1922). Vid. http://gnawledge.com/pdf/granada/LorcaCanteJondo.pdf.

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