Funciones de parte entera

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En matemática, las funciones de parte entera son funciones, que toman un número real y devuelven un número entero más próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:

 f: \mathbb{R} \rarr \mathbb{Z}, \qquad \mathrm{con}\ |x-f(x)| < 1

Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:

  • Función piso (o suelo), que a cada número real asigna el número entero más próximo por defecto, es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. (por ejemplo, si tenemos el caso [-2.4], este se acercaria al valor -3; o aplicándolo a un caso positivo sería [1.5], este se acercaria al valor 1). Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente floor o Floor («suelo» en inglés).
  • Función techo, que a cada número real asigna el número entero más próximo por exceso, es decir, el menor número entero igual o mayor que ese número real. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente ceil o Ceil (por ceiling, «techo» en inglés).
  • Redondeo, que a cada número real asigna el número entero más próximo según su parte decimal.
  • Truncamiento, que a cada número real asigna el número entero resultado de ignorar su parte decimal.

Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una onda de sierra.

Función techo[editar]

Función 01 techo.svg

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:


   \begin{array}{rccl}
        techo : & \R & \to & \Z   \\
                &  x & \to & y = techo(x)
   \end{array}

Definida:


   techo(x) =
   \lceil x \rceil =
   \min\{k\in\mathbb{Z}\mid x\le k\}

O de otra forma:


   y = \lceil x \rceil : \quad
   y = \big \{ y : \quad y \in \mathbb{Z} \quad \land \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad y-1 < x \le y \big \}

Propiedades[editar]

  • Para cualquier número real se cumple que \lceil x \rceil \ge x.
  • El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

x\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow  \lceil x \rceil = x

  • La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
  • La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:

\int_{\epsilon}^{x+\epsilon} \delta(1-\chi_\mathbb{Z}(y))  dy =  \lceil x \rceil, \qquad 0 < \epsilon < 1

Ejemplos[editar]

Para un número real no entero:

 \lceil 2.3 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid 2,3\le k\} = 3
 \lceil -2.3 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid -2,3\le k\} = -2

Para un número entero:

 \lceil 2 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid 2\le k\} = 2
 \lceil -2 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid -2\le k\} = -2

Función piso/suelo/parte entera[editar]

Función 01 suelo.svg

La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x:


   \begin{array}{rccl}
        suelo : & \R & \to & \Z   \\
                &  x & \to & y = suelo(x)
   \end{array}

que se define:


   suelo(x) =
   \lfloor x \rfloor =
   \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le x\}

Se conoce también como función máximo entero[1]

Que se puede expresar:


   y = suelo(x)
   : \quad
   y = \lfloor x \rfloor
   : \quad
   y =
   \big \{
      y : \quad y \in \mathbb{Z}
      \quad \land \quad
      x \in \mathbb{R}
      \quad \land \quad
      y \le x < y+1
   \big \}

Propiedades[editar]

El número real x al que se aplica la función piso es un número entero si y sólo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

x\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow  \lfloor x \rfloor= x
  • Sea x con y números reales. En tal caso se cumple[2]

a)[x] ≤ x < [x]+1

b) [x + m] = [x] + m si m es entero.

c) [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1[3] -

d) [x] + [-x] = 0 si x es entero, en otro caso es -1.

e) x - [x] es la parte fraccionaria o mantisa[4] de x.

f) -[-x] es el menor entero ≥ x.

g) [x + 1/2] es el entero más próximo a x.

h) -[-x + 1/2] es el entero más próximo a x.

Ejemplos[editar]

Para un número real no entero:

 \lfloor 2.3 \rfloor= \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le 2,3\} = 2
 \lfloor -2.3 \rfloor= \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le -2,3\} = -3

Para un número entero:

 \lfloor 2 \rfloor = \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le 2\} = 2
 \lfloor -2 \rfloor = \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le -2\} = -2

Implementación informática[editar]

Función 01 int.svg

La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso[5] y techo,[6] de la siguiente manera:


   \begin{array}{rccl}
        int : & \R & \to & \Z   \\
              &  x & \to & y = int(x)
   \end{array}

definida del de esta forma:


   \operatorname{int}(x) =
   [x] =
   \begin{cases}
      \mathrm{si \ \ } x\ge 1 \quad   & [x]=\lfloor x \rfloor \\ 
      \mathrm{si \ \ } -1< x< 1 \quad & [x]=0 \\
      \mathrm{si \ \ } x \le -1 \quad & [x]= \lceil x \rceil
   \end{cases}

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

Función redondeo[editar]

Función 01 redondeo.svg

La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor mas próximo a x.


   \begin{array}{rccl}
        redondeo : & \R & \to & \Z   \\
                   &  x & \to & y = redondeo(x)
   \end{array}

si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por esceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.

Se puede comprobar la siguiente igualdad:


   redondeo(x) =
   suelo(x+0,5)

Series de expansión[editar]

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función \{x\}:=x-\lfloor x \rfloor, llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica, y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

\{x\}= \frac{1}{2} -  \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)} {k}.

Usando la expresión \{x\}:=x-\lfloor x \rfloor podemos saber la expansión de la función \lfloor x \rfloor:

 \lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

Teniendo en cuenta que: \lceil x\rceil=-\lfloor -x\rfloor, entonces la expansión de serie de la función techo sería:

\lceil x\rceil= x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión \mbox{int}(x)=\lfloor |x|\rfloor \sgn(x); entonces quedaría:

\mbox{int}(x) = x - \frac{\sin(x)}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

Véase también[editar]

Función definida a trozos
Función escalón de Heaviside
Función rectangular
Función escalonada
Función identidad
Función signo
Valor absoluto
Función rampa
Parte fraccionaria
Mantisa

Notas y Referencias[editar]

  1. Niven- Zuckerman: Introducción a la teoría de números ISBN 968-18-0669-7 pág. 87
  2. Niven- Zuckerman. Op. cit
  3. La primera desigualdad es contraria a la propiedad triangular de valor absoluto
  4. Venero: Análisis matemático, Lima (1995)
  5. «C++ reference of floor function». Consultado el 24 de abril de 2011. 
  6. «C++ reference of ceil function». Consultado el 24 de abril de 2011. 

Enlaces externos[editar]