Homomorfismo de grupos

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Imagen de un homomorfismo de grupos (h) de G(izquierda) en H(derecha). El óvalo menor dentro de H es la imagen de h. N is el núcleo de h y aN es una clase lateral de N.

En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.

Dados dos grupos (G,\circ) y (H,\ast) la aplicación \quad \varphi : G \longrightarrow H \quad es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a, b \in G

\varphi(a \circ b) =  \varphi(a) \ast \varphi(b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (\circ) es la ley de composición interna en G, y la operación del lado derecho de la ecuación (\ast) es la ley de composición interna en H.[1]

Si la aplicación \varphi es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Definiciones[editar]

Dados dos grupos (G,\circ) y (H,\ast), en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de G un elemento h de H:

\quad \varphi : G \longrightarrow H \quad

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a, b \in G

\varphi(a \circ b) =  \varphi(a) \ast \varphi(b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (\circ) es la ley de composición interna en G, y la operación del lado derecho de la ecuación (\ast) es la ley de composición interna en H.[1]

Imagen de \varphi[editar]

El conjunto de todos los elementos de H que son la imagen de algún elemento de G se llama la imagen de la aplicación, y se denota \rm{Im}(\varphi) o \varphi(G).[2] Formalmente:

\rm{Im}(\varphi) : \lbrace h \in H : h = \varphi(g), \ para \ alg\acute{u}n \ g \in G\rbrace

La imagen de \varphi es un subgrupo de H.

El núcleo o kernel[editar]

El conjunto de todos los elementos de G cuya imagen es el elemento identidad de H se llama núcleo (kernel) de \varphi:

\ker(\varphi) : \lbrace g \in G : \varphi(g) = 1_H \rbrace

El núcleo de \varphi es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:[3]

Dado a \in G \rightarrow \varphi(a \circ k) = \varphi(a) \qquad \forall k \in \ker(\varphi)
ya que \varphi(a \circ k) = \varphi(a) \ast \varphi(k) = \varphi(a) \ast 1_H =  \varphi(a)

Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.

Ejemplos[editar]

La función exponencial en un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

f : (\mathbb{R}, +) \longrightarrow (\mathbb{R}^{\ast}, \cdot) \quad tal \ que \ f(x)  = e^x

dado que \quad f (x+ y) = e^{x+y} = e^x \ e^y = f(x) \cdot  f(y)

La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.

La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, en un homomorfismo de grupos:

f : \mathbb{GL}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow (\mathbb{R}^{\ast}, \cdot) \quad tal \ que \ f(A)  = det(A)

dado que \quad \det(A \times B) = \det(a) \cdot \det(B).

Tipos de homomorfismos[editar]

  • un monomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos inyectivo, aquel en el no hay dos elementos de G con la misma imagen:
\forall g_1,g_2 \in G : \varphi(g_1) = \varphi(g_2) \iff g_1 = g_2
El núcleo de un monomorfismo sólo contiene al elemento identidad, y a la inversa, cuando el núcleo sólo contiene al elemento identidad entonces la función es un monomorfismo.
  • un epimorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, aquel en el que todo elemento de H es imagen de algún elemento de G. Bajo estas condiciones, la imagen de \varphi es todo H:
\forall h \in H : h = \varphi(g) , \ para \ alg\acute{u}n \ g \in G
  • un isomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es simultáneamente inyectivo y sobreyectivo, o lo que es lo mismo, biyectivo. cuando esto ocurre, ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto, los elementos y la operación.
  • un endomorfismo es un homomorfismo de un grupo en sí mismo:
\quad \varphi : G \longrightarrow G \quad
  • un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Nótese que cuando un endomorfismo es inyectivo entonces es sobreyectivo, y vicecersa. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G, con la composición de funciones como operación, es en sí mismo un grupo llamado grupo de automorfismos de G (Aut(G)). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de (Z,+) sólo contiene dos elementos: la transformación identidad [f(n)=n] y la multiplicación por -1 [f(n)=-n], por lo que es isomorfo a Z/2Z.

Propiedades[editar]

Dado un homomorfismo de grupos \quad \varphi : G \longrightarrow H \quad , se verifican las siguientes propiedades:

En efecto, \varphi(1_G) = \varphi(1_G \circ 1_G) = \varphi(1_G) \ast \varphi(1_G)

por otro lado  1_H = \varphi(1_G) \ast \varphi(1_G)^{-1} = \varphi(1_G).
  • \ker(\varphi) \ne \varnothing: el núcleo de \varphi es un subconjunto no vacío.

Por el resultado anterior 1_G \in \ker(\varphi)

así que el núcleo contiene como mínimo al elemento identidad.
  • \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}. La imagen de un inverso es el inverso de la imagen.

En efecto, 1_H = \varphi(1_G) = \varphi(a \circ a^{-1}) = \varphi(a) \ast \varphi(a^{-1})

y dado que los elemento inversos son únicos, \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}.
  • Si G' es un subgrupo de G, su imagen H' es un subgrupo de H.

En efecto, H' es cerrado bajo la operación del grupo:

\forall \varphi(g_1), \varphi(g_2) \in H', \ donde \ g_1,g_2 \in G'
\varphi(g_1) \ast \varphi(g_2) = \varphi(g_1 \circ g_2) \in H'

Contiene la identidad: 1_G \in G' \Rightarrow 1_H = \varphi(1_G) \in H'
Contiene los inversos: \forall \varphi(g)  \in H', \ donde \ g \in G; \varphi(g)^{-1} = \varphi(g^{-1}) \in H'

  • Si H' es un subgrupo de H, su preimagen G' es un subgrupo de G.

En efecto, G' es cerrado bajo la operación del grupo:

\forall g_1, g_2 \in G' \ donde \ \varphi(g_1), \varphi(g_2) \in H'
\varphi(g_1 \circ g_2) = ( \varphi(g_1) \ast \varphi(g_2)) \in H' \Rightarrow g_1 \circ g_2 \in H'

Contiene la identidad: 1_H = \varphi(1_G) \Rightarrow 1_G \in G'
Contiene los inversos: \forall g \in G'; \ \varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} \in H' \Rightarrow g^{-1} \in G'

  • Continuando lo anterior, si H' es normal en H, entonces su preimagen G' es normal en G:[4]

Para demostrar que G' es normal se debe cumplir que

\forall g \in G \Rightarrow (g^{-1} \circ G' \circ g) \in G'

pero \forall g' \in G' \Rightarrow \varphi(g^{-1} \circ g' \circ g) = (\varphi(g)^{-1} \ast \varphi(g') \ast \varphi(g)) \in H'
dado que H' es normal en H.

El núcleo de \varphi es cerrado

para todo a, b \in \ker(\varphi) \Rightarrow \varphi(a \circ b) = \varphi(a) \ast \varphi(b) = 1_H \ast 1_H = 1_H

Contiene al elemento identidad: \varphi(1_G) = 1_H, como ya se demostró antes.
Contiene los inversos: para todo a \in \ker(\varphi) \Rightarrow \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1} = (1_H)^{-1} = 1_H
Es normal en G porque es la preimagen de 1_H (el subgrupo trivial de H), que es normal en H.

La imagen de \varphi es cerrada:

\forall a, b \in G \Rightarrow \varphi(a) \ast \varphi(b) = \varphi(a \circ b)  \in \rm{im}(\varphi).

Contiene al elemento identidad: \varphi(1_G) = 1_H\Rightarrow 1_H \in \rm{im}(\varphi)
Contiene los inversos: \forall a \in G \Rightarrow \varphi(a)^{-1} = \varphi(a^{-1}) \in \rm{im}(\varphi)

Teoremas fundamental y de isomorfía[editar]

El teorema fundamental expresado como un diagrama conmutativo.

Teorema fundamental[editar]

Sean f:G\longrightarrow H un homomorfismo de grupos y N un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo \bar f tal que \bar f\circ\varphi=f, en donde \varphi:G\longrightarrow G/N es la proyección canónica y G/N es un grupo cociente.[5]

Teoremas de isomorfismo[editar]

  • El primera teorema es un caso particular del teorema fundamental:

Sea f:G\longrightarrow H un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo \bar f:G/(\ker f)\longrightarrow\mathrm{im}\ f, y por tanto G/(\ker f)\cong\mathrm{im}\ f.

  • Segundo teorema:

Si N y H son subgrupos de un grupo G, con N normal en G, entonces NH es un subgrupo de G, H \cap N es normal en G y H/(H \cap N)\cong (HN)/N.

  • Tercer teorema:

Si N y H son subgrupos normales de un grupo G, con N\subseteq H, entonces G/H\cong (G/N)/(H/N).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. a b (Judson, 2012, p. 169)
  2. (Artin, 2011, p. 48)
  3. (Artin, 2011, p. 49)
  4. (Judson, 2012, p. 170)
  5. «Fundamental homomorphism theorem». planetmath.org. Consultado el 01/09/2013.

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]

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