Teorema fundamental de homomorfismos

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En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.

En la teoría de grupos, el teorema se puede formular así:

Si es un homomorfismo de grupos y es un subgrupo normal de contenido en el núcleo de , entonces existe un único homomorfismo tal que , en donde es la proyección canónica. Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente
Teorema fundamental de homomorfismos diagrama conmutativo.svg

El homomorfismo está dado por

para todo de , y se dice que es inducido por . Nótese que si , entonces , por lo que , así que y el homomorfismo está bien definido.

El núcleo de este homomorfismo es , y es un epimorfismo si y sólo si lo es.

Si es un homomorfismo, entonces es un epimorfismo, y puesto que es inyectivo cuando su núcleo es trivial, lo que sucede si y sólo si , tenemos un isomorfismo . Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía.

El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.


Bibliografía[editar]

  1. Hungerford, T. Algebra. (1974) Springer-Verlag, New York.