Subgrupo normal

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En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido N de un grupo G es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento n de N y cada g en G, el elemento gng-1 está en N. N es un subgrupo normal de G se escribe

N\triangleleft G.

Otra manera de poner esto es diciendo que coinciden las clases derechas e izquierda de N en G:

Ng = gN o análogamente g -1 N g = N para todo g en G.

Un subgrupo normal puede también ser definido como: Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal si N es una unión de clases de conjugación de G.

{e} y G son siempre subgrupos normales de G. Si éstos son los únicos, entonces G se dice simple.

Todos los subgrupos N de un grupo abeliano G son normales, porque gNg-1 = Ngg-1 = N.

Los subgrupos normales de cualquier grupo G forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son { e } y G, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es un grupo producto.

Grupos normales y homomorfismos[editar]

Los subgrupos normales son de importancia porque si N es normal, entonces el factor G/N es un grupo. Los subgrupos normales de G son exactamente los núcleos de los homomorfismos de grupo f: GH.

Si H es normal, podemos definir una multiplicación en clases como

(a1H) (a2H): = (a1a2)H

Esto convierte al conjunto de clases en un grupo llamado el grupo cociente G/H. Hay un homomorfismo natural f: GG/H dado por f (a) = aH. La imagen f (H) consiste solamente en el elemento identidad de G/H, la clase de eH = H.

En general, un homomorfismo de grupo f: GK envía subgrupos de G a los subgrupos de K. También, la preimagen de cualquier subgrupo de K es un subgrupo de G. Llamamos a la preimagen del grupo trivial {e} en K el núcleo del homomorfismo y lo denotamos por ker(f). Pues resulta que el núcleo es siempre normal y la imagen f (G) de G es siempre isomorfa a G/ker(f). De hecho, esta correspondencia es una biyección entre el conjunto de todos los grupos cociente G/H y el conjunto de todas las imágenes homomórficas de G (salvo isomorfismo).

Véase también[editar]