Subgrupo

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Las raíces de la unidad en el plano complejo forman un subgrupo del grupo circular U(1).

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.[1]

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir HG). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Definición de un subgrupo[editar]

Decimos que un subconjunto de un grupo es un subgrupo de cuando es un grupo con la operación ( de adición o multiplicación) de restringida a los elementos de .[2]

Sea G un grupo, entonces G es el subgrupo impropio de G. Todos los otros subgrupos son subgrupos propios . Además {e} es el subgrupo trivial. Todos los otros subgrupos son no triviales. [3]

Ejemplo[editar]

Sea el grupo de restos módulo 12, ; tiene los siguientes subgrupos propios , , , , y el subgrupo trivial con la adición en la aritmética modular. [4]

Proposición[editar]

Sean un grupo y . El grupo se llama Subgrupo de si y sólo si:[5]

  • H contiene al elemento identidad de G: .
  • la operación binaria es cerrada en H: .
  • H contiene los elementos inversos: .

Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:[6]

  • .

En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.[7]

La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.[8]

Propiedades de los subgrupos[editar]

  • Todo grupo G con más de un elemento tiene al menos dos subgrupos:[1]
    • el subgrupo trivial {e}, que contiene sólo al elemento identidad.
    • el mismo G, que es el subgrupo máximo de G.
  • Dados dos subgrupos H y K de un grupo G, la intersección es un subgrupo.[9]​ En general, la unión de subgrupos no forma un subgrupo, salvo que uno de ellos esté contenido en el otro.[10]
  • Dado un subgrupo H de un grupo G, se puede definir un homomorfismo natural definido por . Dicha función es la inyección canónica de H en G.
  • Todo elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para algún número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual an = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.
  • Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo de G que contiene S: es el subgrupo generado por S y se denota por <S>. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.
  • El centro de un grupo G, denotado por , es el subgrupo que contiene a todos los elementos que conmutan con cualquier elemento g de G. El centro es siempre un subgrupo normal y abeliano. El centro de un grupo abeliano G es el propio G.

Clases laterales y Teorema de Lagrange[editar]

Clases laterales de Z2 en Z8.

Dados un subgrupo H de G y algún , definimos la clase lateral izquierda . Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H.

Puesto que a es inversible, la función dada por es una biyección. Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH. Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y sólo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.[11]

Las clases laterales derechas se definen análogamente: . Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga: .

El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que

donde |G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces la cardinalidad de todo subgrupo de G y el orden de cada elemento de G debe ser un divisor de |G|.[12]

Subgrupos normales[editar]

Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal. En un grupo abeliano todo subgrupo es normal. Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.

Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. a b (Judson, 2012, p. 49)
  2. Nachbin. «Álgebra elemental»
  3. Teoría de grupos. Colección Schaumm
  4. Ejemplo sencillo que aparece en diversos manuales de álgebra moderna
  5. (Artin, 2011, p. 42)
  6. (Judson, 2012, p. 51)
  7. Soto Aguilar y 2011, 129.
  8. (Artin, 2011, p. 43)
  9. (Barrera, 2003, p. 15)
  10. Dubreil y Dubreil-Jacotin, 1975, p. 86.
  11. (Artin, 2011, p. 56)
  12. (Artin, 2011, p. 57)

Bibliografía[editar]

  • Judson, Thomas W. (2012). Abstract Algebra. Theory and Applications (pdf). disponible online bajo licencia GFDL. 
  • Artin, Michael (2011). Algebra (2ª edición). Pearson Education. ISBN 978-0132413770. 
  • Barrera Mora, Fernando (2003). Introducción a la Teoría de Grupos. UAEH. ISBN 9789707690202. 
  • Dubreil, Paul; Dubreil-Jacotin, Marie Louise (1975). Lecciones de álgebra moderna. Reverte. 
  • Soto Aguilar, Alberto (2011). Elementos de Álgebra Moderna. EUNED. 

Enlaces externos[editar]