Subgrupo

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Las raíces de la unidad en el plano complejo forman un subgrupo del grupo circular U(1).

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.[1]

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir HG). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Definición formal de un subgrupo[editar]

Sean (G, \circ) un grupo y H \subset G: H \neq \emptyset. El grupo (H, \circ) se llama Subgrupo de (G, \circ) si y sólo si:[2]

Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:[3]

  • \forall a , b \in H \Rightarrow a \circ b^{-1} \in H.

En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.[4]

La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.[5]

Propiedades de los subgrupos[editar]

  • Todo grupo G con más de un elemento tiene al menos dos subgrupos:[1]
    • el subgrupo trivial {e}, que contiene sólo al elemento identidad.
    • el mismo G, que es el subgrupo máximo de G.
  • Dados dos subgrupos H y K de un grupo G, la intersección H \cap K es un subgrupo.[6] En general, la unión de subgrupos no forma un subgrupo, salvo que uno de ellos esté contenido en el otro.[7]
  • Todo elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para algún número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual an = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.
  • Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo de G que contiene S: es el subgrupo generado por S y se denota por <S>. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.
  • El centro de un grupo G, denotado por Z(G), es el subgrupo que contiene a todos los elementos que conmutan con cualquier elemento g de G. El centro es siempre un subgrupo normal y abeliano. El centro de un grupo abeliano G es el propio G.

Clases laterales y Teorema de Lagrange[editar]

Clases laterales de Z2 en Z8.

Dados un subgrupo H de G y algún a \in G, definimos la clase lateral izquierda aH = \{ah: h \in H\}. Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H.

Puesto que a es inversible, la función \varphi : H \rightarrow aH dada por h \mapsto ah es una biyección. Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH. Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y sólo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.[8]

Las clases laterales derechas se definen análogamente: Ha = \{ha: h \in H\}. Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga: No se pudo entender (error léxico): a \sim b \iff b = h a \ para \ algún \ h \in H .

El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que

[ G : H ] \cdot |H| = |G|

donde |G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces la cardinalidad de todo subgrupo de G y el orden de cada elemento de G debe ser un divisor de |G|.[9]

Subgrupos normales[editar]

Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal. En un grupo abeliano todo subgrupo es normal. Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.

Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]