Grupo circular

El grupo circular, representado por $S^{1}$ , es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad $S^{1}$ del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos,

$S^{1}=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert =1\}$ ,

con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano.

Todo elemento de $S^{1}$ es de la forma $e^{i\theta }$ , con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de $S^{1}$ hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues $e^{i\theta _{1}}\cdot e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$ , lo que muestra que el producto de elementos de $S^{1}$ equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo.

El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, $\mathbb {C} ^{*}=\{z\in \mathbb {C} :z\neq 0\}$ . Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos $S^{1}$ y $\mathbb {C} ^{*}$ son isomorfos.^[1]

Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de $1\times 1$ , representado por $\mathrm {U} (1)$ .

Propiedades

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

${\begin{bmatrix}\cos t&-\operatorname {sen} t\\\operatorname {sen} t&\cos t\end{bmatrix}}$

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo $\mathrm {U} (1)\,$ también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de $1\times 1$ de entrada compleja

e^{i\theta }\cong {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}

aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos. El símbolo $\mathrm {SO} (2)\,$ representa el conjunto de estas matrices de $2\times 2$ cuyo determinante es igual a uno ( $\mathrm {SO} (2):=\{A\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {R} ):\det(A)=1\}$ ). El conjunto $\mathrm {SO} (2)\,$ también es isomorfo a $\mathrm {U} (1)\,$ .