Grupo circular

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El grupo circular o U(1) es el conjunto de puntos en la circunferencia unidad S^1 del plano euclídeo. Desde el punto de vista algebraico, S^1, es un grupo matemático donde la operación binaria es inducida por la multiplicación de los números complejos es decir, si z=e^{i\alpha}, w=e^{i\beta}\, entonces zw=e^{i(\alpha+\beta)}\,.

Propiedades[editar]

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

 \begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo \mathrm{U}(1)\, también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de 1\times 1 de entrada compleja

e^{i\theta}\cong
\begin{bmatrix} 
\cos \theta & -\sin \theta \\ 
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}

aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos. El símbolo \mathrm{SO}(2)\, representa el conjunto de estas matrices de 2 \times 2 cuyo determinante es igual a uno (\mathrm{SO}(2):=\{A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}): \det(A)=1\}). El conjunto \mathrm{SO}(2)\, también es isomorfo a \mathrm{U}(1)\,.

Referencias[editar]

  • Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348 ISBN 812240120 [1]