Número e

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Diez mil primeras cifras decimales del número en formato cartel.

La constante matemática es uno de los más importantes números reales que aparece en diversas áreas de la matemática.[1] Es aproximadamente igual a 2.71828 y se relaciona con muchos interesantes resultados, como ser la base de los logaritmos naturales y su aparición en el estudio del interés compuesto.

El número , conocido en ocasiones, como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Juega un rol importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática,[2] la función exponencial, así como lo es de la geometría y el número del análisis complejo y del álgebra.[3]

El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como , es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales[4] .

El valor de truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

Lista de númerosNúmeros irracionales
ζ(3)235φαeπδ
Binario 10.10110111111000010101…
Decimal 2.718281828459045235360…
Hexadecimal 2.B7E151628AED2A6B…
Fracción continua
Nótese que la fracción continua no es periódica.

Historia[editar]

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

A diferencia de , la introducción del número en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de Eli Maor[5] ,

The story of has been extensively told, no doubt because its history goes back to ancient times, but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book did better than Petr Beckmann's A History of Pi, a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.

La historia de ha sido extensivamente contada, sin duda no sólo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor que Historia de Pi de Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al número e no le fue tan bien. No sólo es de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el cálculo, el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas "más elevadas".

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[6] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no menciono al número explícitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con explícitamente. Quien si comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva . El número es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que es descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión:

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar esta la primera aproximación encontrada para . Incluso si aceptamos esta como una definición de , seria la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definición que se da de en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación a en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in Analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre . Allí mostró que

y dio una aproximación para de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guió a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de nunca pareció replicarse de la misma manera para . Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de . James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de eran correctos, pero encontró un error que, luego de corregido por el propio Shanks, arrojo cifras decimales de e hasta el lugar 205. De hecho, se necesitan alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... para obtener 200 decimales.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de en base 10 con 272 cifras exactas.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.[7]

Definición[editar]

El área entre el eje x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1.

La definición más común de es como el valor límite de la sucesión . En símbolos,

A veces se toma también como punto de partida la serie

que se expande como

Otra definición habitual[8] dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación

es decir que se define como el número para el que

Propiedades matemáticas y aplicaciones[editar]

Análisis matemático[editar]

Función exponencial[editar]

e es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).

Para cualquier , la sucesión converge. Podemos denotar dicho límite con :

Se llama función exponencial a la función real cuya variable independiente recorre el conjunto de los números reales, y se define como

El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir,

Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales. Por este motivo, sugerimos consultar el artículo de más abajo para un análisis más detallado.

El desarrollo en serie de la función se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que

la fórmula de Maclaurin se escribe de esta manera:

Suponiendo x=1, se obtiene el valor aproximado del número

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.[9]

Problema de Steiner[editar]

El máximo global de ocurre en .

Este problema plantea encontrar el máximo absoluto de la función

Este máximo se da precisamente en .[10]

Asimismo, es el mínimo absoluto de la función

definida para . Más en general, la función

alcanza su máximo global en para ; y el mínimo global se encuentra en para .

La tetración infinita

o

converge si y solo si , por un teorema de Leonhard Euler[11] .

Números complejos[editar]

Representación geométrica de la fórmula de Euler.

El número presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

El caso especial con es conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler

de lo que se deduce que:

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

que es la fórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática[12] .

Probabilidad y estadística[editar]

El número e también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, decubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros[13] : los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego en n compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:

A medida que el número n de invitados tiende a infinito, P(n) se aproxima a 1/e. Mas aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es n!/e redondeado al entero más cercano, para cada positivo n.[14] El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: sea la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ..., n en si mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces

(A068996 en OEIS)

Otra aparición de en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias X1, X2..., con distribución uniforme en [0,1]. Sea V el menor entero n tal que la suma de las primeras n observaciones es mayor que 1:

Luego, .[15] Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias[16] [17] .

Sin embargo, el papel más relevante que juega el número en esta rama de la matemática viene dado a través de la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana[18] :

El rol de esta distribución es central en la teoría y la práctica.

Teoría de Números[editar]

Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los números primos[19]

donde es n-esimo primo y es el primorial del n-esimo primo.

donde la función contadora de primos.

Geometría[editar]

Espiral equiangular de ángulo α.

Al igual que , puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de radianes (existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta característica[20] [21] ). Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva con una separación angular de 1 radián, y entonce se tiene

Esta construcción puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radián, sin embargo, esto puede conseguirse muy fácilmente si permitimos la operación de deslizar una circunferencia sobre una recta (operación más que usual dentro del conjunto de curvas mecánicas). La curva con la propiedad anteriormente señalada es un caso especial de espiral logarítmica o equiangular, y puede probarse fácilmente que a partir de su condición de "equiangularidad", su ecuación en coordenadas polares viene dada por

Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo , entonces su expresión en coordenadas polares es

Otra manifestación relevante de e en la geometría se da con la catenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud.

Irracionalidad y trascendencia[editar]

El número real es irracional[22] , lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Euler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un número racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por Fourier, y se basa en el desarrollo en serie del número. J. H. Lambert probó en 1768 que es irracional si es un racional positivo.

También es un trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873[23] . Se cree que e además es un número normal.

Fórmulas que contienen al número e[editar]

A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas a :

[24]

la cual se obtiene de la identidad

Identidad de Euler o fórmula mística de Euler

Fórmula de Stirling:

Fórmula de Gosper:

Representaciones de e[editar]

El número puede ser representado como un número real en varias formas: como serie infinita, como producto infinito, como fracción continua o como límite de una sucesión.

Como límite[editar]

La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es la propia definición de , es decir, el límite:

En 1975, el suizo Felix A. Keller obtuvo el límite simétrico[25] [26] :

De la fórmula de Stirling se obtiene

y
.

Se mostró también que

donde es enésimo primo y es el primorial del enésimo primo.

donde la función contadora de primos.

Como serie o suma infinita[editar]

donde es el -esimo número de Bell.

Algunos ejemplos de esta última caracterización:

Como producto infinito[editar]

El número puede expresarse también mediante productos infinitos "del tipo Wallis" de diversas formas[27] , incluyendo el producto de Pippenger[28] [29]

el producto de Catalan

y el producto de Guillera [30] [31]

donde el n-ésimo factor es la n-ésima raíz del producto

como también el producto infinito

Como fracción continua[editar]

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

lo que se escribe , propiedad descubierta por Leonhard Euler[32] (A003417 en OEIS). En fracción continua no normalizada se tiene

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

Dígitos conocidos[editar]

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados[33] [34] . En 1949, J. von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench hallaron hasta 100.265 en 1961 con la fórmula de Euler con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales.

En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, por ejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesito 167 horas.

Numero de digitos decimales conocidos de e
Fecha Cantidad de cifras Realizador del cálculo
1690 1 Jacob Bernoulli
1714 13 Roger Cotes[35]
1748 23 Leonhard Euler[36]
1853 137 William Shanks[37]
1871 205 William Shanks[38]
1884 346 J. Marcus Boorman[39]
1949 2,010 John von Neumann (on the ENIAC)
1961 100,265 Daniel Shanks and John Wrench[40]
1978 116,000 Steve Wozniak on the Apple II[41]
1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell[42]
Mayo de 1997 18 199 978 Patrick Demichel
Agosto de 1997 20 000 000 Birger Seifert
Septiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel
Febrero de 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski
Octubre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski
21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon
10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febrero de 2010 500 000 000 000 Alexander J. Yee[43]
5 de julio de 2010 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
24 de junio de 2015 1 400 000 000 000 Matthew Hebert[44]

En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

Primeras cien cifras decimales[editar]

A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de cifras. Las cien primeras son:

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·1011 decimales)[45] , así como Las primeras diez mil cifras decimales del número e, A001113 y OEIS.

Curiosidades[editar]

Reglas mnemotécnicas[editar]

  • En su desarrollo decimal, después del “2,7” el número “1828” aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45.
  • 878/323 = 2.718266254 ... es la mejor aproximación racional utilizando enteros menores que 1000[46] . Además, ambos son palíndromos y 878-323=555.
  • Es muy frecuente emplear frases como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras. Una forma de memorizar los 13 primeros dígitos es con esta frase, sólo hay que contar las letras de cada palabra: "El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme". Otro ejemplo, en francés: "Tu aideras a rappeler ta quantite a beaucoup de docteurs amis" (Tú ayudarás a recordar la cantidad a muchos doctores amigos).
  • Suele invocarse también la figura del presidente de Estados Unidos Andrew Jackson: tuvo 2 mandatos presidenciales, fue el presidente n°7, fue electo por primera vez en 1828, el cual repetimos por sus dos mandatos, y murio en el 45. Con esto se puede recordar las primeras 12 cifras.

e en la cultura informática[editar]

Cartel publicitario de Google que planteaba problema relacionado con e.
  • En su oferta publica inicial de 2004, Google anunció su intención de recaudar $2,718,281,828, que son e miles de millones de dólares, redondeados a un valor entero.
  • Google fue también responsable de un cartel publicitario[47] que apareció en el corazón de Silicon Valley, y mas tarde en Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; y Austin, Texas. En él se leía "{primer primo de 10 dígitos hallado entre 1os dígitos consecutivos de e}.com". Resolviendo este problema y visitando el anunciado sitio web, se accedía a un problema aun más difícil, el cual a su vez conducía los Google Labs, donde el visitante estaba invitado a dejar su currículum[48] . El primer primo de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el nonagésimo noveno (99°) dígito[49] .
  • El científico de la computación Donald Knuth hace que el número de versión de su programa Metafont se aproxime a e. Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.[50]

Poemas al número e[editar]

  • La matemática y poetisa Sarah Glaz escribió un elaborado y extenso poema en el que describe la historia de e y sus principales propiedades[51] [52] .
  • Otro poema:

Singular y encantador es el número (e).
Sus primeros nueve dígitos decimales no deben confundirte,
718281828, el 18 28 que se repite,
pues al igual que (pi) es un número irracional.
De la fórmula del interés compuesto,
extiende el límite hasta el infinito
y comprenderás lo que digo.
¡Oh! qué número tan fascinante que aparece en las finanzas,
del cálculo de Newton y Leibniz ni hablar,
que ha encontrado en los logaritmos de Neper
su morada al ser su base natural.
Intrigante es el número (e),
que al elevarlo a la su derivada permanece igual;
¡qué grandioso trascendental!
sin ser su intención del gran Euler es la inicial
y en las funciones trigonométricas hiperbólicas lo podemos encontrar,
a ese interminable numeral.
Las estrellas lograremos contar,
mas las cifras de (e) jamás,
pues como cociente de enteros nunca lo podremos expresar;
y como por mandato divino,
con (pi) y la unidad imaginaria se puede relacionar mediante una hermosa identidad,
que sólo a Euler se le pudo revelar.
Por eso y mucho más en diversas ramas de las matemáticas,
el número (e) nunca, jamás ha de faltar.

Otras curiosidades[editar]

e en chocolate
  • El valor principal de la expresión es un número real y está dado por[53]
  • Deslumbrado por la identidad de Euler, Benjamin Pierce sugirió crear nuevos símbolos para y . Pierce publicó su sugerencia en revistas de matemática y libros de su autoria. Debido a las dificultades tipográficas y la similitud entre los símbolos, su propuesta no fue bien recibida y cayó en el olvido rápidamente.
  • Algunos matemáticos proponen declarar el 2 de Julio de 2018 como el día .

Cuestiones abiertas sobre e[editar]

  • No se sabe si e es simplemente normal en base 10 (o alguna otra base). Esto es, que cada uno de los diez dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal.
  • No se sabe si es trascendente
  • No se sabe si y son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 109.[54] [55]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. 
  2. Calculus de Spivak
  3. Sin el concurso de i las ecuaciones de 2 grado, con determinante negativo, no tendrían solución
  4. Elon Lages. Análisis matemático.
  5. Maor, Eli (1994). E - The story of a number. Princeton University Press. pp. XII. 
  6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html .
  7. Pro Mathematica, Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP, Lima.ISSN 1012-3938
  8. Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
  9. V. S. Shipachev. Op. cit.
  10. Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. p. 359. 
  11. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  12. Kasner -Newman. Matemáticas e imaginación
  13. Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory (published online under the GFDL), p. 85.
  14. Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
  15. [1]
  16. Russell, K. G. (1991) Estimating the Value of e by Simulation The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb., 1991), pp. 66–68.
  17. Dinov, ID (2007) Estimating e using SOCR simulation, SOCR Hands-on Activities (retrieved December 26, 2007).
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  26. Khattri, Sanjay. «From Lobatto Quadrature to the Euler constant e». 
  27. http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf
  28. Weisstein, Eric W. "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html
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  30. J. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, Amer. Math. Monthly 112 (2005) 729–734.
  31. J. Guillera and J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,Ramanujan Journal 16 (2008), 247–270.
  32. Sandifer, Ed (Feb 2006). «How Euler Did It: Who proved e is Irrational?». MAA Online. Consultado el 18 de junio de 2010. 
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Bibliografía[editar]

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  • Rodríguez, Vasallo, Gómez, Domínguez. «Cálculo diferencial e integral» Primera parte.

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