Matriz invertible

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En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada de orden se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden , llamada matriz inversa de y denotada por si , donde es la matriz identidad de orden y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna es igual a cero para algún no nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Ejemplos[editar]

Matriz de dos filas (matriz adjunta)[editar]

Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo entonces

y esta está definida siempre y cuando . Así por ejemplo la inversa de la matriz

ya que

Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo:


Propiedades de la Matriz Inversa[editar]

Sea una matriz de rango máximo

  • La matriz inversa de es única.
  • Si y entonces la matriz inversa del producto es
  • Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir
  • Y, evidentemente:
  • Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

donde es el determinante de y es la matriz de adjuntos de , entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto[1][2][3][4][5]​ en el artículo matriz de adjuntos).

  • El conjunto de matrices de con componentes sobre el cuerpo que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal de orden . En este grupo la operación de inversa es un automorfismo .

Demostración de la unicidad de la inversa[editar]

Supongamos que y son inversas de

Multiplicando ambas relaciones por

De modo que y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas[editar]

Se probará la doble implicación.

Suficiencia [editar]

Suponiendo que existe tal que . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

usando la propiedad

Por lo tanto, es distinto de cero.

Necesidad [editar]

Suponiendo que el determinante de es distinto de cero, sea es el elemento ij de la matriz y sea la matriz sin la fila y la columna (comúnmente conocida como -ésimo menor de A). Entonces

Sea , entonces

Esta afirmación es válida por propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación es el determinante de la matriz con la columna igual a la columna y los demás términos iguales a los de . Entonces

donde cuando y cuando . Entonces

Es decir que tiene inversa izquierda

Como , entonces también tiene inversa izquierda que es

Entonces

luego, aplicando la transpuesta

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices[editar]

Solución analítica[editar]

Inversión de matrices 2×2[editar]

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:[6]

Esto es posible siempre y cuando , es decir, el determinante de la matriz no es cero.


Ejemplo numérico:

Inversión de matrices de órdenes superiores[editar]

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

Donde es el determinante de y es la matriz de adjuntos de .

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricos[editar]

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

Grupo lineal[editar]

El conjunto de todas las matrices que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como . Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además es un conjunto abierto (con la topología inducida de ).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Apostol, Tom M. (2002). «3. Determinantes, 5. Autovalores de operadores en espacios euclídeos». Calculus vol. 2 (2ª edición). Barcelona: Reverté S.A. pp. 113,151. ISBN 84-291-5003-X. 
  2. Clapham, Christopher (2004). Diccionario de Matemáticas (1ª edición). Madrid: Editorial Complutense. pp. 3-4. ISBN 84-89784-56-6. 
  3. Castañeda Hernandez, Sebastián; Barrios Sarmiento, Agustín (2004). «3.6 Cofactores y Regla de Cramer». Notas de álgebra lineal (2ª edición). Barranquilla (colombia): Ediciones Uninorte. p. 193. ISBN 958-8133-89-0. 
  4. Díaz Martín, Jose Fernando (2005). «6. Determinantes». Introduccion Al Algebra (1ª edición). La coruña (España): NetBiblo. pp. 229-230,237-238. ISBN 84-9745-128-7. 
  5. Perelló, Miquel A. (2002). «4.3.3. Cálculo por determinantes de la matriz inversa». Álgebra lineal. Teoría y práctica. Barcelona: Edicions UPC. pp. 129,136. ISBN 8483016621. 
  6. Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole. pp. 46. ISBN 0-03-010567-6. 

Enlaces externos[editar]