Número imaginario

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En matemáticas, particularmente en álgebra, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma , donde es un número real.

Definición[editar]

Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es decir:

Aparición y usos[editar]

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se indica con j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Historia[editar]

Cronología[1]
Año Acontecimiento
1572 Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.
1777 Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.
1811 Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand

Otras representaciones[editar]

  1. Como par ordenado de números reales se denota: Z = (0; y)
  2. Trigonométricamente z = cosπ/2 + isenα donde α es un número real cualquiera.

Interpretación geométrica[editar]

El producto por efectua rotaciones de 90 grados.

Geométricamente, los números imaginarios se representan en el eje vertical del plano complejo y por tanto perpendicular al eje real que es horizontal, el único elemento que comparten es el cero, ya que . Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como , , o simplemente . En esta representación se tiene que:

  • una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen.
  • Una multiplicación por corresponde a una rotación de 90 grados en el sentido "positivo" (en el sentido antihorario), y el cuadrado de la ecuación puede interpretarse como efectuar dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, equivalente a una rotación de 180 grados, .
  • Una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación, ya que es también una solución de la ecuación .

En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

Propiedades[editar]

Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la unidad imaginaria.

Demostración
Como se tiene que:

que es un número real.

Sea un número real negativo se tiene que:

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.[2]​ Es decir, es correcto afirmar que , y que ; ésto se debe a que y . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que , , por lo tanto, , entonces tenemos que , y obviamente .

Por otro lado, supóngase que , entonces tenemos que , lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que , pero si multiplicamos por nos queda que . Por lo tanto tenemos que . Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente errónea.

Aplicaciones[editar]

  • La unidad imaginaria puede ser usada para obtener formalmente las raíces cuadradas de números negativos.
  • Igualmente las raíces cuadradas de un número imaginario son números complejos, don una de ellas, es de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4) donde k es un número real cualquiera.
  • En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
  • En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más simple de dichas magnitudes.

Véase también[editar]

Clasificación de números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
uno: 1
Naturales primos
Naturales compuestos
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Puros
Mixtos
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

Referencias[editar]

  1. Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. 
  2. Paul J. Nahin: Esto no es real. La historia de i. Libraria: México, 2008.