Subgrupo conmutador

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En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por o . Esto significa que si entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si verifica que es abeliano entonces .

La construcción recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones[editar]

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

  • El inverso de un conmutador es un conmutador.
  • G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
  • G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Bibliografía[editar]

  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858. 
  • Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X.