Elemento supremo e ínfimo
Apariencia
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En matemáticas, dado un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado , el supremo de , si existe, es el mínimo elemento de que es mayor o igual a cada elemento de . En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de . El supremo de un conjunto comúnmente se denota como .
De forma análoga, se define el ínfimo , si existe, como la mayor de las cotas inferiores de , y se suele denotar por .
Definiciones
[editar]Sea un subconjunto no vacío de .
- Si está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de si es menor que cualquier cota superior de . En tal caso, a esa cota superior se le denota .
- Si está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de si es mayor que cualquier cota inferior de . En tal caso, a esa cota inferior se le denota [1]
Propiedades
[editar]- En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
- es supremo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota superior de y si, y solo si para toda existe en tal que .
- es ínfimo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota inferior de y si, y solo si para toda existe en tal que .
- Sean un subconjunto acotado de números reales y un subconjunto no vacío de . Se cumple que .[2]
- Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
- , si es que dichos supremos existen
- , si es que dichos ínfimos existen
- Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.
Ejemplos
[editar]Véase también
[editar]- Elemento supremo e ínfimo
Referencias
[editar]- ↑ Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
- ↑ Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I
Literatura de consulta
[editar]- Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
- Supremum (en PlanetMath.org)
- Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.