Acotado

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El concepto de acotado aparece en matemáticas para referirse a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.

Conjunto acotado en un espacio métrico[editar]

Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Se dice que A está acotado si existe algún disco cerrado que lo contenga.

Conjunto acotado en el conjunto de los números reales[editar]

Sean A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si existe un M tal que para todo x ∈ A se verifica que |x| es menor o igual que M.


   A \; \mbox{es acotado}
   \quad \iff \quad
   \exists M \in \R^+ / \quad \forall x \in A: \quad |x| \le M

Conjunto acotado superiormente[editar]

Un conjunto \scriptstyle A completamente ordenado está acotado superiormente si existe un elemento \scriptstyle y que sea mayor que cualquier elemento del conjunto, es decir:

(*)A\ \mbox{acotado superiormente} \iff \exists y: \forall x\in A:\ (x \le y)

Nótese que con esta definición puede ser que \scriptstyle y\notin A o que \scriptstyle y\in A. A cualquier número \scriptstyle y que satisfaga (*) se le llama cota superior.

Si un conjunto está acotado superiormente en general existirá más de una cota superior, denotando al conjunto de cotas superiores de \scriptstyle A como \scriptstyle CS_A se define el supremo de \scriptstyle A como el mínimo de este conjunto:

\sup A = \min CS_A

Si \scriptstyle A \subset \R está acotado entonces tiene un supremo. Si resulta que \scriptstyle \sup A \in A entonces el supremo resulta además ser un máximo del conjunto \scriptstyle A.

Conjunto acotado inferiormente[editar]

Sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe k que pertenece a los reales tal que k < x o k = x para todo x que pertenece a A. El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito.

Ejemplos[editar]

  • El conjunto de números enteros positivos consta de un ínfimo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Inferiormente.
  • El conjunto de los números enteros negativos consta de un supremo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Superiormente.
  • Un conjunto que conste de los números {-3, 0, 1, 5, 32, 120} consta de una mayorante (el 120), una minorante (el -3) y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un Conjunto Acotado.

Función acotada en un dominio D[editar]

Una función matemática f se llama función acotada en un dominio D (conjunto abierto conexo no vacío) cuando el conjunto imagen o recorrido de la función es un conjunto acotado, es decir, cuando la función solo existe para un intervalo numérico determinado. Por esta misma razón si una función solo existe en un intervalo numérico concreto se le llama "función acotada" ya que su resultado está limitado (acotado) a unos valores numéricos concretos que son finitos . Por ejemplo, las funciones trigonométricas \sin x y \cos x, para las cuales f(D) =[-1,+1]\,, son funciones acotadas ya que todos sus posibles resultados están contenidos en un intervalo numérico acotado, en este caso el intervalo cerrado [-1,1].

Función acotada superiormente en un dominio D[editar]

Dada una función f(X), se dice que tiene una cota superior o que está acotada superiormente si existe un valor K tal que f(X) \le K para cualquier valor de X perteneciente al dominio D. K se llama cota superior de f(X) en D.

Dicho formalmente: f(X) es acotada superiormente si \exists K \in \R\ /\ f(X) \le K\  \forall\  X \in D.

Función acotada inferiormente en un dominio D[editar]

Dada una función f(X), se dice que tiene una cota inferior o que está acotada inferiormente si existe un valor K tal que f(X) \ge K para cualquier valor de X perteneciente al dominio D. K se llama cota inferior de f(X) en D.

Ejemplos[editar]

  • La función y = f(x) = x^2\, (parábola) es una función acotada inferiormente en el eje real con cota igual a 0.
  • La función y = f(x) = -x^2\, (parábola invertida) es una función acotada superiormente en el eje real con cota igual a 0.
  • La función y= f(x) = \sin(x)\, (función seno) es una función acotada en el eje real, con cota inferior igual a -1 y cota superior igual a 1.
  • La función z = f(x,y) = x^2+y^2\, (la circunferencia unitaria) en el dominio D = {-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1} tiene una cota superior igual a 2 y una cota inferior igual a 0.

Operador acotado[editar]

En un espacio de Hilbert (o un espacio de Banach) un operador acotado es aquel que tiene una norma máxima definida sobre la bola unidad. Por tanto para un operador acotado se cumple que:

\exists K \in \mathbb{R}: \max_{\|v\| = 1} \|B(v)\| \le K

Algunos operadores importantes de la mecánica cuántica como el hamiltoniano suelen ser no acotados, lo cual tiene cierta significación física ya que en general la mayoría de sistemas físicos no tienen un límite superior de la energía que pueden contener.

Segmento acotado[editar]

En un croquis, se llama segmento acotado aquél que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.

Croquis acotado[editar]

Representación de un objeto en un plano horizontal o vertical con indicación de las dimensiones del objeto.

Término No Acotado[editar]

En matemáticas el término no acotado se refiere a alguna entidad matemática infinita o para la cual no es posible establecer una cota máxima para alguna de sus propiedades o medidas.

Conjuntos no acotados[editar]

Dentro de un espacio métrico (E, d) un conjunto no acotado es un conjunto infinito tal que tiene puntos situados a distancia infinita, es decir, no existe ningún valor C\in\R tal que:

d(P,Q) < C \qquad \mbox{para todo}\ P,Q\in E

Alternativamente un conjunto no acotado es aquel que no cabe dentro de ninguna bola de radio finito de dicho espacio métrico.

Operador no acotado[editar]

Fijado un espacio vectorial normado, un operador A se dice no acotado o discontinuo si no existe C\in\R tal que:


   \sup_x \frac{\lVert Ax \rVert}{\lVert x\rVert} < C < \infty

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • R. G. Bartle y D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
  • Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.