Raíz de la unidad

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Las 5 soluciones de la raíz quinta de la unidad en el plano complejo

En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre, son todos los números complejos que resultan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice sobre 1.

Definición[editar]

Los números complejos z solución a

z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3,4,5,6, \dots )

se denominan raíces n-ésimas de la unidad.

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad.

e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).

Raíces primitivas[editar]

Las raíces n-ésimas de la unidad forma con la multiplicación un grupo cíclico de orden n, y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos multiplicativos de los números complejos, excepto el grupo trivial {0}. Un generador de este grupo cíclico es una raíz primitiva n-ésima de la unidad. Las raíces primitivas n-ésimas de la unidad son e^{2 \pi i k/n}, donde k y n son coprimos. El número de raíces primitivas diferentes lo da la función φ de Euler, \phi(n).

O de otra manera, la raíz n-ésima de la unidad α es primitiva, si sólo si sus k-ésimas potencias, k=0, 1,...,n-1 son distintas.

Las raíces cuartas de 1 son: 1, -1, i, -i. En el caso de 1 sus potencias de grado 0, 1, 2 y 3 son iguales; no es raíz primitiva. Para i, se calcula que las potencias de grado 0, 1, 2, 3 son respectivamente 1, i, -1, -i, distintas, luego i es una raíz cuarta primitiva de 1.

Ejemplos[editar]

Sólo hay una raíz primera de la unidad, la cual es el número: 1.

Las raíces segundas (raíces cuadradas) de la unidad son +1 y -1, siendo -1 la única primitiva.

Las raíces terceras (cúbicas) de la unidad son

\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} ,

donde  i es la unidad imaginaria; las dos últimas son primitivas.

Las raíces cuartas de la unidad son

\left\{ 1, +i, -1, -i \right\} ,

de las cuales +i y -i son primitivas.

Una de las raíces octavas primitivas de la unidad es

\sqrt{i}= \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Suma de las raíces[editar]

La suma de las raíces de la unidad es cero, para n no menor que 2. Este hecho aparece en muchas áreas de la matemática y se puede probar de varias maneras. Una prueba elemental es aplicar la fórmula de la progresión geométrica:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = \frac{e^{2 \pi i n/n} - 1}{e^{2 \pi i/n} - 1} = \frac{1-1}{e^{2 \pi i/n} - 1} = 0 .

Otra razón de la suma nula es que las raíces de la unidad, dibujadas sobre el plano complejo, forman los vértices de un polígono regular cuyo baricentro (por simetría) está sobre el origen. Este sumatorio es un caso especial de la suma gaussiana.

Ortogonalidad[editar]

Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{-2 \pi i j k/n} \cdot e^{2 \pi i j' k/n} = n \delta_{j,j'}

donde \delta es la delta de Kronecker.

Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz n \times n cuyo elemento A_{i,j} es

U_{j,k}=n^{-\frac{1}{2}} e^{-2 \pi i j k/n}

De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían la normalización y la convención de signos).

Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n. La relación de ortogonalidad se obtiene de los principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.

Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).

Notación omega[editar]

La raíz primitiva e^{-2 \pi i /n} (o su conjugada e^{2 \pi i /n}) se escribe a menudo \omega_n (o a veces simplemente \omega), especialmente en el contexto de la transformada de Fourier discreta.

Isomorfismo[editar]

El grupo multiplicativo de las raíces n-ésimas de 1, es isomorfo con el grupo aditivo de los restos módulo n.

Polinomios ciclotómicos[editar]

Los ceros de un polinomio p(z) = z^n - 1\! son precisamente las raíces n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.

El polinomio ciclotómico n-ésimo está definido por el hecho de que sus ceros son precisamente las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1:

\Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(z-z_k)\;

donde z1,...,zφ(n) son las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, y \phi(n) es la función totiente de Euler. El polinomio \Phi_n(z) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no puede ser escrito como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales). El caso del primo n, que es más sencillo que la afirmación general, se obtiene del criterio de Eisenstein.

Cada raíz n-ésima de la unidad es una raíz primitiva d-ésima de la unidad para exactamente un divisor positivo d de n. Esto implica que

z^n - 1 = \prod_{d\,\mid\,n} \Phi_d(z).\;

Esta fórmula representa la factorización del polinomio zn - 1 en factores irreducibles.

z1−1 = z−1
z2−1 = (z−1)(z+1)
z3−1 = (z−1)(z2+z+1)
z4−1 = (z−1)(z+1)(z2+1)
z5−1 = (z−1)(z4+z3+z2+z+1)
z6−1 = (z−1)(z+1)(z2+z+1)(z2z+1)
z7−1 = (z−1)(z6+z5+z4+z3+z2+z+1)

La aplicación de la inversión de Möbius a la fórmula nos da

\Phi_n(z)=\prod_{d\,\mid n}(z^{n/d}-1)^{\mu(d)},

donde μ es la función de Möbius.

Así que los primeros polinomios ciclotómicos son

Φ1(z) = z−1
Φ2(z) = (z2−1)(z−1)−1 = z+1
Φ3(z) = (z3−1)(z−1)−1 = z2+z+1
Φ4(z) = (z4−1)(z2−1)−1 = z2+1
Φ5(z) = (z5−1)(z−1)−1 = z4+z3+z2+z+1
Φ6(z) = (z6−1)(z3−1)−1(z2−1)−1(z−1) = z2z+1
Φ7(z) = (z7−1)(z−1)−1 = z6+z5+z4+z3+z2+z+1

Si p es un número primo, entonces todas las raíces p-ésimas de la unidad excepto 1 son primitivas, y tenemos que

\Phi_p(z)=\frac{z^p-1}{z-1}=\sum_{k=0}^{p-1} z^k

Observe que, al contrario de las apariencias, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 1, −1 o 0; el primer polinomio donde esto ocurre es Φ105, ya que 105=3×5×7 es el primer producto de tres primos impares. Se conocen muchas restricciones sobre los valores que pueden asumir los polinomios ciclotómicos con valores enteros. Por ejemplo, si p es primo y d|\Phi_p(z) entonces d \equiv 1\pmod{p}\ o d \equiv 0\pmod{p}\ .

Cuerpos ciclotómicos[editar]

Adjuntando una raíz primitiva n-ésima de la unidad a Q, obtenemos el cuerpo ciclotómico n-ésimo Fn. Este cuerpo contiene todas las raíces n-ésimas de la unidad y es el cuerpo de descomposición de los polinomios ciclotómicos n-ésimos sobre Q. La extensión Fn/Q tiene grado φ(n) y su grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo de las unidades del anillo Z/nZ.

Como el grupo de Galois de Fn/Q es abeliano, tenemos una extensión abeliana. Cada subcuerpo de uno ciclotómico es una extensión abeliana de los racionales. En estos casos la teoría de Galois se puede escribir en términos bastante explícitos de sumas gaussianas: esta teoría de las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss se publicó muchos años antes de Galois.

A la inversa, cada extensión abeliana de los racionales es un subcuerpo de uno ciclotómico (éste es el contenido de un teorema de Kronecker, llamado normalmente teorema de Kronecker-Weber ya que Weber dio la demostración).

Raíces de la unidad en los cuaterniones[editar]

Con los números complejos está asegurado que sólo existe un número finito de raíces n-ésimas de la unidad. Así por ejemplo -1 tiene sólo dos raíces complejas i e −i. Sin embargo, en los números cuaterniónicos \scriptstyle \mathbb{H} hay un número infinito de raíces cuadradas de -1: de hecho el conjunto de soluciones forma una esfera en el espacio tridimensional. Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que su cuadrado es −1. En términos de a, b, c y d esa asunción implica que

a^2 - b^2 - c^2 - d^2 = -1,
2ab = 0,
2ac = 0,
2ad = 0.

Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas soluciones. Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tenerse que a = 0 o bien b = c = d = 0, sin embargo, esta última posibilidad no puede darse ya que al ser a un número real la primera ecuación implicaría que a2 = −1, pero eso es imposible para un número real. Por tanto a = 0 y b2 + c2 + d2 = 1. En otras palabras. Nótese que sólo un cuaternión que sea igual a un número real negativo puede tener un número infinito de raíces cuadradas. Todos los demás tienen sólo dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz).

Lo anterior implica que la ecuación:

z_q^{2n} = 1, \qquad z_q\in\mathbb{H}, n\in\mathbb{N}.

tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.

Referencias[editar]