Matriz hermitiana

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Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Propiedades[editar]

  1. Sea , donde es hermitiana y y reales, entonces es simétrica () y antisimétrica ().
  2. La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana.
  3. En relación con la propiedad 1, los autovalores de estas matrices son reales.
  4. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
  5. El determinante de una matriz hermitiana es un número real.

Diagonalización de Matrices Hermíticas[editar]

Sea Hermítica, es decir . Entonces es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:

En donde:

  1. es una matriz unitaria y el conjunto es ortonormal y está formado por autovectores de asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deben ir en orden, respecto de sus autovalores.
  2. una matriz diagonal formada con autovalores de (todos reales)

Propiedades[editar]

  • es unitaria si y sólo si lo que implica que son ortogonales, es decir, para todo i distinto de j, y si i es igual a j entonces . Donde es el producto interno canónico en .
Entonces el conjunto es una base ortonormal de . Observar que la implicación de que el producto interno de 1 si coinciden los subíndices, implica que es un conjunto ortonormal.
Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además (observar que se trata sólo del caso real), entonces ocurre que . En este caso la matriz se dice involutiva y está asociada a una reflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder
  • Analicemos el siguiente caso suponiendo . O sea autovalor de asociado al autovector :
De donde
  • Sean autovectores de la matriz Hermítica asociados a los autovalores respectivamente. Supongamos que al menos, existe un par de estos últimos distintos, es decir, para algún par . Entonces . Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
De donde

Ejemplos[editar]

1) Sea una matriz real simétrica (caso particular de Hermítica, con Imag(A) = 0). Entonces, se ve que es autovalor de asociado al autovector , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es

El otro autovalor es asociado al autovector , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es

Como se puede ver, ; es decir, son ortogonales. O sea

La descomposición de la matriz es:

O si no:

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]