Charles Hermite , matemático francésUna matriz hermitiana (o hermítica , en memoria del matemático francés Charles Hermite ) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada . Es decir, el elemento en la i -ésima fila y j -ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j -ésima fila e i -ésima columna, para todos los índices i y j :
a
i
,
j
=
a
j
,
i
¯
{\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}
o, escrita con la traspuesta conjugada A *:
A
=
(
A
T
)
∗
{\displaystyle A=(A^{T})^{*}\;}
Por ejemplo,
A
=
[
3
2
+
i
2
−
i
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}
es una matriz hermítica.
Sea
A
=
B
+
i
C
{\displaystyle A=B+iC\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
C
{\displaystyle C\,}
B
{\displaystyle B\,}
B
=
B
T
{\displaystyle B=B^{T}\,}
C
{\displaystyle C\,}
C
=
−
C
T
{\displaystyle C=-C^{T}\,}
La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana, siempre y cuando la matriz inicial sea invertible (
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\neq 0}
En relación con la propiedad 1, los autovalores de estas matrices son reales.
En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
El determinante de una matriz hermitiana es un número real. [ editar ] Sea
A
∈
k
n
×
n
(
k
=
R
ó
C
)
{\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times n}\,\,(\Bbbk =\mathbb {R} \,\,{\text{ó}}\,\,\mathbb {C} )}
A
=
A
H
{\displaystyle A=A^{H}\,}
A
{\displaystyle A\,}
diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:
A
=
P
⋅
Δ
⋅
P
H
{\displaystyle A=P\cdot \Delta \cdot P^{H}}
En donde:
P
{\displaystyle P\,}
matriz unitaria y el conjunto
col
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {col} (P)\,}
ortonormal y está formado por autovectores de
A
{\displaystyle A\,}
autovalores . Estos vectores deben ir en orden , respecto de sus autovalores.
Δ
=
diag
[
λ
1
⋯
λ
n
]
T
{\displaystyle \Delta =\operatorname {diag} \left[\lambda _{1}\quad \cdots \quad \lambda _{n}\right]^{T}}
matriz diagonal formada con autovalores de
A
{\displaystyle A\,}
P
∈
k
n
×
n
{\displaystyle P\in \Bbbk ^{n\times n}}
P
⋅
P
H
=
P
H
⋅
P
=
I
n
{\displaystyle P\cdot P^{H}=P^{H}\cdot P=I_{n}}
ortogonales , es decir,
col
i
(
P
)
⊥
col
j
(
P
H
)
{\displaystyle \quad \operatorname {col} _{i}(P)\,\,\bot \,\,\operatorname {col} _{j}(P^{H})}
i distinto de j , y si i es igual a j entonces
⟨
col
i
(
P
)
,
col
i
(
P
H
)
⟩
=
1
{\displaystyle \langle \operatorname {col} _{i}(P),\,\,\operatorname {col} _{i}(P^{H})\rangle =1}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
producto interno canónico en
k
n
{\displaystyle \Bbbk ^{n}}
Entonces el conjunto
col
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {col} (P)\,}
k
n
{\displaystyle \Bbbk ^{n}\,}
fil
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {fil} (P)\,}
Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además
P
=
P
T
{\displaystyle P=P^{T}\,}
P
⋅
P
T
=
P
⋅
P
=
P
2
=
I
n
{\displaystyle P\cdot P^{T}=P\cdot P=P^{2}=I_{n}}
P
{\displaystyle P\,}
involutiva y está asociada a una reflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder Analicemos el siguiente caso suponiendo
A
⋅
v
=
λ
⋅
v
{\displaystyle A\cdot v=\lambda \cdot v}
λ
∈
k
{\displaystyle \lambda \in \Bbbk }
A
{\displaystyle A\,}
v
∈
k
n
{\displaystyle v\in \Bbbk ^{n}}
λ
¯
⟨
v
,
v
⟩
=
⟨
λ
v
,
v
⟩
=
⟨
A
v
,
v
⟩
=
(
A
v
)
H
⋅
v
=
v
H
A
H
⋅
v
=
v
H
A
⋅
v
=
⟨
v
,
A
v
⟩
=
⟨
v
,
λ
v
⟩
=
λ
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle {\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle =\langle \lambda v,v\rangle =\langle Av,v\rangle =(Av)^{H}\cdot v=v^{H}A^{H}\cdot v=v^{H}A\cdot v=\langle v,Av\rangle =\langle v,\lambda v\rangle =\lambda \langle v,v\rangle }
De donde
λ
¯
⟨
v
,
v
⟩
=
λ
⟨
v
,
v
⟩
⟺
λ
¯
=
λ
⟺
λ
∈
R
{\displaystyle {\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle =\lambda \langle v,v\rangle \Longleftrightarrow {\overline {\lambda }}=\lambda \Longleftrightarrow \lambda \in \mathbb {R} }
Sean
v
1
,
⋯
,
v
n
{\displaystyle v_{1},\cdots ,v_{n}}
autovectores de la matriz Hermítica
A
∈
k
n
×
n
{\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times n}\,}
autovalores
λ
1
,
⋯
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}
λ
i
≠
λ
j
{\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}\,}
1
≤
i
,
j
≤
n
,
i
≠
j
{\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\quad i\neq j}
v
i
⊥
v
j
{\displaystyle v_{i}\,\,\bot \,\,v_{j}}
autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
λ
i
⟨
v
i
,
v
j
⟩
=
⟨
λ
i
v
i
,
v
j
⟩
=
⟨
A
v
i
,
v
j
⟩
=
v
H
A
H
v
j
=
v
H
A
v
j
=
⟨
v
i
,
A
v
j
⟩
=
⟨
v
i
,
λ
j
v
j
⟩
=
λ
j
⟨
v
i
,
v
j
⟩
{\displaystyle \lambda _{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle =\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\rangle =\langle Av_{i},v_{j}\rangle =v^{H}A^{H}v_{j}=v^{H}Av_{j}=\langle v_{i},Av_{j}\rangle =\langle v_{i},\lambda _{j}v_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle \,}
De donde
λ
i
⟨
v
i
,
v
j
⟩
=
λ
j
⟨
v
i
,
v
j
⟩
⟺
(
λ
i
−
λ
j
)
⟨
v
i
,
v
j
⟩
=
0
⟺
v
i
⊥
v
j
{\displaystyle \lambda _{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle \Longleftrightarrow (\lambda _{i}-\lambda _{j})\langle v_{i},v_{j}\rangle =0\Longleftrightarrow v_{i}\,\,\bot \,\,v_{j}}
1) Sea
A
=
[
1
2
2
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}}
λ
1
=
3
{\displaystyle \lambda _{1}=3\,}
A
{\displaystyle A\,}
v
1
=
(
1
1
)
{\displaystyle v_{1}={\binom {1}{1}}}
S
λ
1
=
gen
{
(
1
1
)
}
{\displaystyle S_{\lambda _{1}}=\operatorname {gen} {\Big \{}{\binom {1}{1}}{\Big \}}}
El otro autovalor es
λ
2
=
−
1
{\displaystyle \lambda _{2}=-1\,}
v
2
=
(
−
1
1
)
{\displaystyle v_{2}={\binom {-1}{1}}}
S
λ
2
=
gen
{
(
−
1
1
)
}
{\displaystyle S_{\lambda _{2}}=\operatorname {gen} {\Big \{}{\binom {-1}{1}}{\Big \}}}
Como se puede ver,
(
v
1
,
v
2
)
=
0
{\displaystyle (\,\,v_{1}\,\,,\,\,v_{2}\,\,)=0\,}
S
λ
1
⊕
S
λ
2
=
R
2
{\displaystyle S_{\lambda _{1}}\oplus S_{\lambda _{2}}=\mathbb {R} ^{2}}
La descomposición de la matriz es:
A
=
[
1
2
−
1
2
1
2
1
2
]
⋅
[
3
0
0
−
1
]
⋅
[
1
2
1
2
−
1
2
1
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}
O si no:
A
=
[
−
1
2
1
2
1
2
1
2
]
⋅
[
−
1
0
0
3
]
⋅
[
−
1
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}
![{\displaystyle \Delta =\operatorname {diag} \left[\lambda _{1}\quad \cdots \quad \lambda _{n}\right]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab25e3616577b094d1de5e6ed60bfec4e891ea16)
