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En álgebra lineal , una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas . Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
es
[
3
0
0
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}}
mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
es
[
6
0
0
0
7
0
0
0
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}6&0&0\\0&7&0\\0&0&4\end{bmatrix}}}
La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar ) es una matriz diagonal.
La matriz
D
=
(
d
i
,
j
)
{\displaystyle D=(d_{i,j})}
con
n
{\displaystyle n}
columnas y
n
{\displaystyle n}
renglones es diagonal si
d
i
,
j
=
0
si
i
≠
j
∀
i
,
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle d_{i,j}=0\;{\mbox{si}}\;i\neq j\quad \forall \;i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}
Los elementos de la diagonal principal de la matriz
D
{\displaystyle D}
pueden tomar cualquier valor.
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica , triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C ) normal .
Operaciones vectoriales [ editar ]
Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal
D
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
y un vector
v
=
[
x
1
⋯
x
n
]
T
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}^{T}}
el producto es:
D
v
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
[
x
1
⋮
x
n
]
=
[
a
1
⋱
a
n
]
[
x
1
⋮
x
n
]
=
[
a
1
x
1
⋮
a
n
x
n
]
{\displaystyle D\mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}}
Operaciones matriciales [ editar ]
Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño
D
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
y
B
=
diag
(
b
1
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})}
.
Para la suma de matrices diagonales se tiene
D
+
B
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
+
diag
(
b
1
,
…
,
b
n
)
=
[
a
1
⋱
a
n
]
+
[
b
1
⋱
b
n
]
=
[
a
1
+
b
1
⋱
b
n
+
b
n
]
=
diag
(
a
1
+
b
1
,
…
,
a
n
+
b
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}D+B&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})\end{aligned}}}
y para el producto de matrices ,
D
B
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
⋅
diag
(
b
1
,
…
,
b
n
)
=
[
a
1
⋱
a
n
]
[
b
1
⋱
b
n
]
=
[
a
1
b
1
⋱
a
n
b
n
]
=
diag
(
a
1
b
1
,
…
,
a
n
b
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}DB&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})\end{aligned}}}
La matriz diagonal
D
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
es invertible si y sólo si las entradas
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}
son todas distintas de 0. En este caso, se tiene
D
−
1
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
−
1
=
diag
(
a
1
−
1
,
…
,
a
n
−
1
)
{\displaystyle D^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})}
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
.
Multiplicar la matriz
A
{\displaystyle A}
por la izquierda con
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
equivale a multiplicar la
i
{\displaystyle i}
-ésima fila de
A
{\displaystyle A}
por
a
i
{\displaystyle a_{i}}
para todo
i
{\displaystyle i}
. Multiplicar la matriz
A
{\displaystyle A}
por la derecha con
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
equivale a multiplicar la
i
{\displaystyle i}
-ésima columna de
A
{\displaystyle A}
por
a
i
{\displaystyle a_{i}}
para todo
i
{\displaystyle i}
.
Propiedades [ editar ]
El determinante de
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
es igual al producto
a
1
⋯
a
n
{\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}}
.
La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
La matriz identidad
I
n
{\displaystyle I_{n}}
y la matriz cero son matrices diagonales.
Los autovalores de
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}
son
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}
.
Los vectores
e
1
,
…
,
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}
forman una base de autovectores.
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n ×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes . Tales matrices se dicen diagonalizables .
En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral ) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.