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En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño
es

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño
es

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.
La matriz
con
columnas y
renglones es diagonal si

Los elementos de la diagonal principal de la matriz
pueden tomar cualquier valor.
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Operaciones vectoriales[editar]
Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal
y un vector
el producto es:

Operaciones matriciales[editar]
Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño
y
.
Para la suma de matrices diagonales se tiene

y para el producto de matrices,

La matriz diagonal
es invertible si y sólo si las entradas
son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de
.
Multiplicar la matriz
por la izquierda con
equivale a multiplicar la
-ésima fila de
por
para todo
. Multiplicar la matriz
por la derecha con
equivale a multiplicar la
-ésima columna de
por
para todo
.
Propiedades[editar]
- El determinante de
es igual al producto
.
- La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
- La matriz identidad
y la matriz cero son matrices diagonales.
- Los autovalores de
son
.
- Los vectores
forman una base de autovectores.
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.
En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.