Matriz diagonal

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En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño es

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño es

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

Definición[editar]

La matriz con columnas y renglones es diagonal si

Los elementos de la diagonal principal de la matriz pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Operaciones vectoriales[editar]

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal y un vector el producto es:

Operaciones matriciales[editar]

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño y .

Para la suma de matrices diagonales se tiene

y para el producto de matrices,

La matriz diagonal es invertible si y sólo si las entradas son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de .

Multiplicar la matriz por la izquierda con equivale a multiplicar la -ésima fila de por para todo . Multiplicar la matriz por la derecha con equivale a multiplicar la -ésima columna de por para todo .

Propiedades[editar]

  • El determinante de es igual al producto .
  • La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
  • La matriz identidad y la matriz cero son matrices diagonales.
  • Los autovalores de son .
  • Los vectores forman una base de autovectores.

Usos[editar]

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.