Bicondicional

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↔ ⇔ ≡

Símbolos lógicos
que representan si y solo si.

En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado como ssi, sii, o syss), es una proposición de la forma «P si y solo si Q» y afirma que la proposición P será verdadera exclusivamente cuando Q también lo sea, así como también P será falsa cuando Q lo sea. Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

Definición[editar]

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas :

 p \leftrightarrow q  \equiv  (p\to q) \wedge (q\to p).

De manera más precisa, el operador bicondicional está definido mediante la siguiente tabla de verdad:[1] [2] 98

si y solo si
p q
pq
V V V
V F F
F V F
F F V

Representación y lectura[editar]

Normalmente se usan los símbolos ⇔ o ↔ para denotar el bicondicional, quedando así:

P\leftrightarrow Q o P \Leftrightarrow Q.

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

Dos enunciados se dicen equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad, y se simboliza con ≡.[3] Este símbolo también puede leerse "es equivalente a". Cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes su conexión con un bicondicional una tautología.[4]

Adicionalmente, el bicondicional es equivalente a la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Uso[editar]

En la matemática, toda definición de un objeto expresa la condición necesaria y suficiente para plantear la definición de tal objeto; que es lo mismo que expresar de manera tácita a través de un bicondicional. Sin embargo, es usual en una definición usar simplemente una forma implicativa. Verbi gratia: "si un triángulo tiene dos lados iguales o congruentes se llama isósceles".[5]

Ejemplos[editar]

Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales.

Por ejemplo, nótese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes:

Una persona es mayor de edad si tiene el carnet de conducir.

O bien,

Una persona es mayor de edad si y sólo si tiene el carnet de conducir.

La primera proposición es correcta, puesto que es imposible tener el carnet de conducir siendo menor de 18 años. Por tanto, si se tiene el carnet, se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad.

La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carnet de conducir" y "ser mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin tener el carnet de conducir.

Referencias[editar]

  1. Trelles Montero, Oscar; Rosales Papa, Diógenes (2000). «Bicondicional». Introducción a la Lógica. Perú: Fondo Editorial PUCP. pp. 68 y siguientes. ISBN 9972-42-182-1. 
  2. Korfhage, Robert R.: "Lógica y Algoritmos", (1970) Editorial Limusa -Wiley, S.A. México 1, D.F. p. 60
  3. Copi, Irving M.: "Lógica Simbólica" (2000)ISBN: 968-26-0134-7, Cecsa. México D.F., décima novena reimpresión p. 45
  4. Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred North : Principia Mathematica (Hasta el *56) (1981) Paraninfo S. A., Madrid, p.60
  5. Geometría Moderna ( 1970) .Dolciani et al