Progresión geométrica

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Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Si se denota por al término que ocupa la posición de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero () y de la razón () mediante la siguiente fórmula llamada término general:

Ejemplos de progresiones geométricas[editar]

Definición recursiva[editar]

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica () definida por las condiciones

llamada ecuación recursiva de orden 1 [2]​( ), ( es la razón de la progresión geométrica) [3]

Monotonía[editar]

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior (), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior (), constante cuando todos los términos son iguales () y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando ).[4]

Monotonía en función del primer término, , y de la razón, :[5]

creciente
decreciente
decreciente
creciente
constante
alternada

Suma de términos de una progresión geométrica[editar]

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica[editar]

Se denota por a la suma de los primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

Se puede calcular esta suma a partir del primer término y de la razón mediante la fórmula

Sea

Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión .

puesto que

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando :

De esta manera se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión como:

que expresa la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios y (ambos incluidos):


Suma de infinitos términos de una progresión geométrica[editar]

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiende hacia 0, de modo que:

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

,

Caso notable[editar]

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar]

El producto de los primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

(si ).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón (si ), están en progresión aritmética de diferencia , se tiene:

,

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Matemáticas recreativas de Perelman
  2. Markushévich: Sucesiones recurrentes
  3. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales Euro-Omega, Madrid -Moscú /1995
  4. Sapiña, R. «Problemas resueltos de progresiones geométricas». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 15 de mayo de 2020. 
  5. Llopis, José L. «Sucesiones o progresiones geométricas». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 15 de mayo de 2020. 

Enlaces externos[editar]