Polígono regular

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Un polígono regular de siete lados

En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.[1]

Elementos de un polígono regular[editar]

PoliReg 02.svg
  • Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
  • Vértice, V: el único punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
  • Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los puntos medios de todos los lados.
  • Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
  • Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
  • Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
  • Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados .
  • Semiperímetro, p: es la mitad del perímetro.
  • Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

Propiedades de un polígono regular[editar]

  • Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma longitud.
  • Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma amplitud.
  • Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
  • A cualquier polígono regular se puede circunscribir una circunferencia.

Ángulos de un polígono regular[editar]

Ángulos de un polígono regular.

Central[editar]

  • Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:
en grados sexagesimales
en radianes

Interior[editar]

  • El ángulo interior, , de un polígono regular mide:
en grados sexagesimales
en radianes
  • La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes

Exterior[editar]

  • El ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes
  • La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:
en grados sexagesimales
en radianes


Galería de polígonos regulares[editar]

Polig 03b.svg Polig 04b.svg Polig 05b.svg Polig 06b.svg
Triángulo equilátero (3) Cuadrado (4) Pentágono (5) Hexágono (6)
Polig 07b.svg Polig 08b.svg Polig 09b.svg Polig 10b.svg
Heptágono (7) Octágono (8) Eneágono (9) Decágono (10)
Polig 11b.svg Polig 12b.svg Polig 13b.svg Polig 14b.svg
Undecágono (11) Dodecágono (12) Tridecágono (13) Tetradecágono (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular[editar]

PoliReg 03.svg

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema[editar]

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

Demostración
  • Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es:
  • Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será:
  • Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos:

O de otro modo

el área es igual al producto de apotema: a por semiperímetro: p.

En función del número de lados y la apotema[editar]

PoliReg 04.svg

Sabiendo que:

Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

Sustituyendo el lado:

Finalmente:

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio[editar]

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

donde el ángulo central es:

sabiendo que el área de un polígono es:

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

ordenando tenemos:

sabiendo que:

resulta:

o lo que es lo mismo:

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados[editar]

PoliReg 08.svg

si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

Sea el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

Despejando la apotema tenemos:

Sustituimos la apotema por su valor:

Se puede ver en el dibujo que y la fórmula puede escribirse también como .

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Apotema y sagita[editar]

La apotema, , de un polígono regular de lados de longitud viene dada por

[2]

O bien, en función del circunradio, ,

[2]

La sagita, , de un polígono regular de lados de longitud viene dada por

[2]

O bien, en función del circunradio,

[2]

Diagonales de polígonos regulares[editar]

Número de diagonales[editar]

PoliReg 15.svg

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

  • De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
  • Esto es válido para los n vértices del polígono.
  • Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

Longitud de la diagonal más pequeña[editar]

PoliReg 16.svg

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

que resulta:

de donde deducimos que:

Sabiendo el valor del ángulo central:

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

Longitud de las diagonales[editar]

En general la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Polígono regular». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  2. a b c d Sapiña, R. «Apotema y sagita de un polígono regular». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 31 de agosto de 2020. 

Bibliografía[editar]

  1. Echegaray, José (2001). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
  2. Equipo: Rosalía de Castro (2000). Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
  3. Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4. 

Enlaces externos[editar]