Hexágono

Hexágono irregular

En geometría plana elemental, un hexágono o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en el DRAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Propiedades

Un hexágono tiene 6 lados y 9 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la fórmula para determinar el número de diagonales de los polígonos convexos, $n_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}$$n_d=\frac{n(n-3)}{2}$, donde $n\geq 3$$n \ge 3$ y n representa el número de vértices; siendo el número de vértices $n=6$$n=6$, tenemos:

$n_{6}={\tfrac {6(6-3)}{2}}=9$$n_6=\tfrac{6(6-3)}{2}=9$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier hexágono es 720 grados ó $4\pi$$4\pi$ radianes. Se usa la fórmula $\sigma _{i}=2R(n-2)$$\sigma_i = 2R(n-2)$. O bien la suma de los ángulos internos de un polígono convexo cualquiera es igual a dos rectos (2R = 180º) por el número n de lados menos 2.

Parhexágono

Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.

Proposición

Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.

Hexágono regular

Hexágono regular

El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

• Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° ó ${\frac {2\pi }{3}}$$\frac{2\pi}{3}$ rad. Resultado de $A_{i}={\frac {180(6-2)}{6}}$$A_i = \frac{180(6-2)}{6}$
• Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° ó ${\frac {\pi }{3}}$$\frac{\pi}{3}$ rad.
• Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
  • Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
  • Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
• Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
• Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación $z^{6}-1=0$$z^6 -1 = 0$ están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).

• Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia. Caben las igualdades:

$l_{6}=r{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}$$l_6 = r \frac{2}{3}\sqrt{3}$, r es el radio del círculo inscrito.

$l_{6}=R$$l_6 = R$, R es el radio del círculo circunscrito.

$r={\frac {R}{2}}{\sqrt {3}}={\frac {l_{6}}{2}}{\sqrt {3}}$$r = \frac{R}{2}\sqrt{3} = \frac{l_6}{2}\sqrt{3}$

• Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.

Perímetro

Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

$P=n\cdot l_{n}=6\ l_{6}$$P = n\cdot l_n = 6\ l_6$, donde n es el número de lados y $l_{n}$$l_n$, la longitud del lado.

Área

Área del hexágono regular

Si se conoce la longitud del apotema a₆ del polígono, una alternativa para calcular el área es:

$A={\frac {P\cdot a_{p}}{2}}={\frac {6l_{6}\cdot a_{p}}{2}}=3l_{6}\cdot a_{p}$$A = \frac{P\cdot a_p}{2} = \frac{6l_6\cdot a_p}{2} = 3l_6 \cdot a_p$

o

$A=2{\sqrt {3}}\cdot a_{p}^{2}$$A = 2\sqrt{3}\cdot a_p^2$

Si sólo conocemos el lado l₆ podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

$A=l_{6}^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$$A = l_6^2 \frac{3\sqrt{3}}{2}$, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica

Construcción geométrica de un hexágono regular.

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

1. Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
2. Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
3. Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
4. Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

En la naturaleza

Los panales están construidos con formas hexagonales.

Hexágono de Saturno.

La Francia continental o parte metropolitana de Francia recibe el sobrenombre de Hexágono (l'Hexagone en francés), por tener una forma vagamente hexagonal.

Véase también

• Polígono
• Círculo
• Triángulo
• Cuadrado
• Pentágono
• Heptágono
• Octógono
• Eneágono
• Decágono

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre hexágonos. Commons
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre hexágono.Wikcionario