Rombo

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Rombo
Familia Bipiramidal
Tipo Cuadrilátero
Lados y vértices 4
Propiedades convexo, isotoxal

El rombo es un paralelogramo y por tanto un cuadrilátero cuyos cuatro lados son de igual longitud.

Definiciones equivalentes[editar]

Un paralelogramo es un rombo si posee:

  1. todos los lados iguales,
  2. las diagonales respectivamente perpendiculares,
  3. las diagonales son bisectrices de los ángulos del paralelogramo,
  4. la recta que une los vértices opuestos es eje de simetría ( el cumplimiento de una de estas propiedades provee como corolario las otras tres restantes).
Rombo 104.svg
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El rombo determinado por los vértices A, B, C y D, cumple las siguientes relaciones, respecto de sus lados:

  • Sus cuatro lados: l, son iguales [2]

   \overline{AB} =
   \overline{BC} =
   \overline{CD} =
   \overline{DA} =
   l
  • Sus dos diagonales son de distinta longitud:

   D_1 =
   \overline{AC}

   D_2 =
   \overline{BD}

siendo:


   D_1 > D_2

Propiedades[editar]

  • Las diagonales son ejes de simetría.
  • El punto de intersección O de las diagonales es el incentro del rombo.
  • Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y satisfacen la relación:

   {D_1}^2 + {D_2}^2 =
   (2 l)^2 =
   4 l^2
  • Las dos alturas: h, de un rombo tienen la misma longitud que el diámetro: d, de su circunferencia inscrita:

   \overline{EG} =
   \overline{FH} =
   h =
   d

Si se observan los puntos de contacto de dicha circunferencia sobre dos lados opuestos cualesquiera de rombo se notará que los dos diámetros que unen a dichos puntos son cada uno de ellos paralelo a la respectiva altura y tienen medida exactamente igual a las mismas. Diámetro y alturas son la medida de la separación entre lados paralelos opuestos.

  • Sean d1 una diagonal,d2 la otra diagonal, α el ángulo correspondiente, a lado del rombo, A el área del rombo, entonces se cumple:
 d_1 = 2asen\frac{\alpha}{2}, d_2 = 2a cos\frac{\alpha}{2}, A =a^2 sen\alpha

[3]

  • Si se unen los puntos medios H, I, J, K de sendos lados de un rombo usando segmentos de recta, resulta de la reunión de tales segmentos un rectángulo. [4]
  • Si se inscriben en los cuatro triángulos, determinados por las diagonales, sendas circunferencias, cada una de estas es tangente , exactamente, a otras dos de ellas. Los cuatro centros de sendas circunferencias determinan, como vértices, un cuadrado, . El radio es
     r = \frac{D_1D_2}{2(2l+D_1+D_2)}
    . El lado del cuadrado de vértices en los centros es 2r. [5]

Área[editar]

Hay diversas maneras de calcular el área del rombo:

Rombo 113.svg
  • El área del rombo es igual al semiproducto de sus diagonales (diagonal mayor y diagonal menor):[6]

   A =
  \cfrac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} =
  \cfrac{D_1 \cdot D_2}{2}

Viendo el triángulo OBC, rectángulo en O, su área es:


   A_t =
   \cfrac{\overline{CO} \cdot \overline{OB}}{2}

El rombo está formado por cuatro triángulos iguales:


   A_r =
   4 \cdot A_t =
   4 \; \cfrac{\overline{CO} \cdot \overline{OB}}{2} =
   \cfrac{2 \; \overline{CO} \cdot 2 \; \overline{OB}}{2}

Con lo que tenemos el área del rombo como el producto de sus dos diagonales dividido entre dos.

Rombo 011.svg
  • El área también es igual al producto entre la base y la altura.

   A =
   \overline{CD} \cdot \overline{PB} =
   l \cdot h
siendo l el lado o la base; h la altura del rombo.

El rombo como paralelogramo, su área es el producto de la base por la altura.

Rombo 012.svg
  • El área del rombo es igual al producto entre dos lados y el seno del ángulo comprendido entre estos.

   A =
   l^2 \cdot \sin \alpha

Partiendo del triángulo PBC rectángulo en P, siendo BC la hipotenusa y PB la altura del rombo, tenemos que:


   \overline{PB} =
   \overline{CB} \cdot \sin \alpha

Equivalente a:


   h =
   l \cdot \sin \alpha

Con lo que queda determinada el área del rombo:


   A =
   l \cdot h =
   l \cdot l \cdot \sin \alpha =
   l^2 \cdot \sin \alpha


  • Otra forma de hallar el área es a través del producto entre el semiperímetro y el radio del círculo inscrito en el rombomeones
siendo 2l es el semiperímetro de rombo; r el radio del círculo inscrito.

Radio de la circunferencia inscrita[editar]

Cálculo del radio de la circunferencia inscripta


   r =
   \frac{A}{2 l}

siendo A el área; l la base; r el radio de la circunferencia inscripta del rombo.

Dimensiones del rombo[editar]

Rombo 109.svg
Rombo 009.svg

En un rombo podemos distinguir las siguientes dimensiones:

El lado l:


   l =
   \overline{AB} =
   \overline{BC} =
   \overline{CD} =
   \overline{DA}

Las diagonales: D y d:


   D =
   D_1 =
   \overline{AC}

   d =
   D_2 =
   \overline{BD}

La altura h:


   h =
   \overline{EG} =
   \overline{FH}


El rombo en el comercio y cosas de marca particular[editar]

  • El logotipo de Mitsubishi, son tres rombos unidos a un punto en común cualquiera.
  • La marca de los autos Renault lleva un rombo sin puntas, pero el centro del logotipo está formado también por un rombo.
  • En la Televisión Española se indicaba con uno o dos rombos que el programa que empezaba no era apto para menores de 14 o 18 años, respectivamente. Los rombos aparecían durante unos segundos en la esquina superior derecha de la pantalla. La práctica se mantuvo al menos hasta 1984. También hay que mencionar que esta es la figura que forma las 9 lunetas del logotipo del Canal 9.
  • En el juego de naipes, algunas cartas se llaman diamantes , que no son sino figuras en forma de rombo en esquinas opuestas de la correspondiente carta.
  • Hay una novela de Europa oriental, que lleva por título Los aviones avanzan en rombo.
  • El rombo se puede observar y reflejar por ejemplo en algo sencillo como lo es una cometa o aún una lámpara.
  • Sobre las puertas de madera se tallan, encima de las planchas entre los marcos, rombos sobresalientes.

Otros usos y casos del rombo[editar]

  • El gráfico de la ecuación |x| + |y| = 1 es un rombo de centro en el origen de coordenadas, usado posteriormente en análisis funcional.[7]
  • En los bloques lógicos, usados en la educación inicial, hay planchas con la forma de rombo y de diferentes colores y tamaños.
  • Las diagonales del rombo tienen propiedades aprovechables en la fabricación de periscopios. [8]
  • En la fabricación de chompas se usa un estampado de rombos del mismo tamaño, pero de colores que traten de armonizar.[9]

Véase también[editar]

Referencias y notas[editar]

  1. Juan Goñi: Formulario y conceptos de Matemática, ediciones Grupo Ingeniería, Lima
  2. Reiteración de la definición
  3. Goñi: Op. cit.
  4. G. M. Bruño. Elementos de Geometrías
  5. Se obtiene aplicando el área del triángulo en función del radio de la circunferencia inscrita y su semiperímetro
  6. Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Área del rombo. Edunsa. p. 22. ISBN 9788477471196. Consultado el 24 de abril de 2011. 
  7. Protter and Morrey. Calculus an Analytic Geometry
  8. René Benítez. Geometría Plana. ISBN 978-968-24-8157-4
  9. Las matemáticas en la vida cotidiana: copublicación de Adison Wesley Iberoamerica S. A. y la Universidad autónoma de Madrid. Fotocomposición: Ediciones de la UAM. ISBN 84-7829-020-6

Enlaces externos[editar]