Paralelogramo

Distintos tipos de paralelogramos

En el campo de la geometría, un paralelogramo —o paralelógramo en Chile—​ es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.​ La congruencia de lados opuestos y ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado paralelo euclidiano y ninguna condición puede probarse sin apelar al postulado paralelo euclidiano o una de sus formulaciones equivalentes.

La contraparte tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo.

La etimología (en griego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, una forma "de líneas paralelas") refleja la definición.

Clases de paralelogramos

• El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.
• El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y solo dos pares de ángulos congruentes. Cualquier paralelogramo que no sea ni un rectángulo ni un rombo se llamaba tradicionalmente romboide, pero este término no se usa en las matemáticas modernas.​
• El rectángulo, que tiene solo sus lados opuestos de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.
• El romboide, que tiene solo los lados opuestos de igual longitud y solo dos pares de ángulos congruentes.

Propiedades

Por definición de paralelogramo:

• Todo cuadrilátero tiene cuatro vértices, cuatro lados. Cuatro ángulos interiores.
• Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos.

Propiedades de los paralelogramos deducibles a partir de su definición:

• Hereda todas las propiedades de los cuadriláteros:
• La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.
• Los lados opuestos son de igual longitud, (congruentes).
• Los ángulos internos en dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180°).
• Los ángulos internos opuestos son iguales en medida.
• El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.
• Cualquier recta secante corta al paralelogramo en no más de dos puntos.
• Todos los paralelogramos son convexos.
• Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí en el «centro» del paralelogramo.
• El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del mismo.
• Cualquier recta secante que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su superficie en dos partes iguales.
• Cualquier recta coplanar que pase por el «baricentro» de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.

Propiedades causadas por diferentes aplicaciones:

• Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.
• Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.
• Se puede establecer un homeomorfismo entre un paralelogramo y una circunferencia.​
• Una traslación, una rotación de un paralelogramo conservan la forma y el tamaño.​

Dado un paralelogramo construido mediante vectores:

• El área de un paralelogramo es igual a la magnitud (módulo) del producto vectorial​ de dos lados contiguos, considerados como vectores.​ Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes). Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida. Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180°). La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.

El paralelogramo «cuadrado», tiene simetría de rotación de orden 4 (45°) Los paralelogramos «romboide», «rombo» y «rectángulo», tiene simetría de rotación de orden 2 (90°) Si no tiene ningún eje de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «romboide». Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión diagonales, entonces es un paralelogramo «rombo». Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo». Si tiene 4 ejes de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «cuadrado».

Casos de simetría para diversas clases de paralelogramos

• El paralelogramo «cuadrado», tiene simetría de rotación de orden 4 (90°).
• Los paralelogramos «romboide», «rombo» y «rectángulo», tiene simetría de rotación de orden 2 (180°).
• Si no tiene ningún eje de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «romboideo».
• Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión diagonales, entonces es un paralelogramo «rombo».
• Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo».
• Si tiene 4 ejes de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «cuadrado».

Algunas propiedades métricas comunes

• El perímetro de un paralelogramo es 2 (a + b), donde a y b son las longitudes de dos lados contiguos cualquiera.
• La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (véase la regla del paralelogramo).
• Para calcular el área de un paralelogramo, se puede considerar como una figura compuesta por dos triángulos congruentes y un rectángulo, trazando alturas de los vértices de los ángulos obtusos. Y el triángulo tiene las mis más medidas

Fórmulas

Todas las fórmulas de área para cuadriláteros convexos generales se aplican a los paralelogramos. Otras fórmulas son específicas de los paralelogramos:

Un paralelogramo con base b y altura h se puede dividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo, y reorganizarse en un rectángulo, como se muestra en la figura A la izquierda. Esto significa que el área de un paralelogramo es igual a la de un rectángulo con la misma base y altura:

$K=bh.$

El área del paralelogramo es el área de la región azul, que es el interior del paralelogramo

La fórmula del área base × altura también se puede derivar usando la figura de la derecha. El área K del paralelogramo a la derecha (el área azul) es el área total del rectángulo menos el área de los dos triángulos naranjas. El área del rectangulo es

$K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,$

y el área de un solo triángulo es

$K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es

$K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.$

Otra fórmula de área, para dos lados B y C y ángulo θ, es

$K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,$

El área de un paralelogramo con lados B y C (B ≠ C) y ángulo $\gamma$ en la intersección de las diagonales está dada por​

$K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.$

Cuando el paralelogramo se especifica a partir de las longitudes B y C de dos lados adyacentes junto con la longitud D₁ de cualquiera de las diagonales, entonces el área se puede encontrar a partir de la fórmula de Herón. Específicamente es

$K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}$

donde $S=(B+C+D_{1})/2$ y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelogramo en "dos" triángulos congruentes.

Fórmulas del paralelogramo

Área	$A\,=\,a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\,\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$   ​ $A\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}$
Altura de a	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta ={\frac {A}{a}}$
Altura de b	$h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta ={\frac {A}{b}}$
Diagonales (teorema del coseno)	$f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$ $e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$
Ángulos	$\alpha =\gamma \;\;\;\;\;\beta =\delta \;\;\;\;\;\beta =180^{\circ }-\alpha$

Regla del paralelogramo

Los cuatro lados de un paralelogramo (AB, BC, CD y DA),
los cuatro vértices (A, B, C y D) y sus dos diagonales (AC y BD).

Existe una identidad geométrica que relaciona los lados de un paralelogramo con sus diagonales, llamada regla del paralelogramo. Ésta dice que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. En notación matemática, se representa mediante la siguiente fórmula:

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,$

donde A, B, C, y D son los vértices del paralelogramo.

Puesto que los lados son iguales dos a dos, la fórmula suele representarse simplificada:

$2\cdot ((AB)^{2}+(BC)^{2})=2\cdot ((CD)^{2}+(DA)^{2})=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,$

Véase también

• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas

Enlaces externos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Paralelogramos.

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre paralelogramo.

• Weisstein, Eric W. «Paralelogramo». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q45867
• Multimedia: Parallelograms / Q45867