Paralelismo (matemática)

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Dos rectas paralelas.
Planos paralelos.

En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.

Rectas paralelas[editar]

Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando sólo regla y compás

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

También se le denomina así a aquellos pares de líneas que nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidad[editar]

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades[editar]

Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: que representamos del siguiente modo:

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

  • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
  • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

  • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas[editar]

  • En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
  • Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Véase también[editar]

Referencias[editar]