Espacio afín

No hay puntos distinguidos por definición

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Nota: las parejas de elementos de $E_{}^{}$$E_{{}}^{{}}$, esto es los elementos de $E\times E\,$$E\times E\,$ son llamados « bipuntos»^{[cita requerida]}; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Dado un conjunto no vacío $E_{}^{}$$E_{{}}^{{}}$ diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial $V_{}^{}$$V_{{}}^{{}}$ si se tiene la siguiente aplicación:

Visualización del orden de los puntos para $\varphi$$\varphi$ o como origen y destino de una traslación.

${\begin{matrix}\varphi :&E\times E&\longrightarrow {}&V\\&(a,b)&\longmapsto &\varphi (a,b)\end{matrix}}$${\begin{matrix}\varphi :&E\times E&\longrightarrow {}&V\\&(a,b)&\longmapsto &\varphi (a,b)\end{matrix}}$

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación $\varphi _{a}$$\varphi _{a}$ es biyectiva, es decir:

$\forall a\in E,v\in V,\;\exists !\ b\in E:\varphi (a,b)=\mathbf {v} .$$\forall a\in E,v\in V,\;\exists !\ b\in E:\varphi (a,b)={\mathbf v}.$

2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:

$\forall \ a,b,c\in E\qquad \varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)\,$$\forall \ a,b,c\in E\qquad \varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)\,$

Los elementos de $E_{}^{}$$E_{{}}^{{}}$ se llaman puntos.

Se designa al vector $\varphi (a,b)\,$$\varphi (a,b)\,$ por la notación ${\overrightarrow {ab}}$$\overrightarrow {ab}$, así la propiedad 2 se escribe como:

$\forall a,b,c\in E\;\;{\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}$$\forall a,b,c\in E\;\;\overrightarrow {ab}+\overrightarrow {bc}=\overrightarrow {ac}$

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación $\varphi$$\varphi$ asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementales

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados $a,b,c,d\,$$a,b,c,d\,$ y $a_{1},...,a_{n}\,$$a_{1},...,a_{n}\,$ puntos cualesquiera en un espacio afín $E\,$$E\,$.

Tenemos:

${\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\quad \Leftrightarrow a=b\,$$\overrightarrow {ab}={\vec 0}\quad \Leftrightarrow a=b\,$

${\overrightarrow {aa}}+{\overrightarrow {aa}}={\overrightarrow {aa}}\Rightarrow$$\overrightarrow {aa}+\overrightarrow {aa}=\overrightarrow {aa}\Rightarrow$ ${\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}$$\overrightarrow {aa}={\vec 0}$. $\Rightarrow )\,Si\,{\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\,y\,{\overrightarrow {aa}}={\vec {0}},$$\Rightarrow )\,Si\,\overrightarrow {ab}={\vec 0}\,y\,\overrightarrow {aa}={\vec 0},$ entonces como $\varphi _{a}$$\varphi _{a}$ es biyectiva, se tiene que $a=b$$a = b$. $\Leftarrow )\,Si\,a=b\Rightarrow$$\Leftarrow )\,Si\,a=b\Rightarrow$ ${\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}\,$$\overrightarrow {ab}=\overrightarrow {aa}={\vec 0}\,$.

${\overrightarrow {ba}}=-{\overrightarrow {ab}}\,$$\overrightarrow {ba}=-\overrightarrow {ab}\,$

${\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {ba}}={\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}\Rightarrow$$\overrightarrow {ab}+\overrightarrow {ba}=\overrightarrow {aa}={\vec 0}\Rightarrow$ ${\overrightarrow {ab}}=-{\overrightarrow {ba}}$$\overrightarrow {ab}=-\overrightarrow {ba}$

${\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {cd}}\quad \Leftrightarrow {\overrightarrow {ac}}={\overrightarrow {bd}}\,$$\overrightarrow {ab}=\overrightarrow {cd}\quad \Leftrightarrow \overrightarrow {ac}=\overrightarrow {bd}\,$ (regla del paralelogramo).

Directo a partir de ${\overrightarrow {ac}}+{\overrightarrow {cd}}={\overrightarrow {ad}}={\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bd}}.$$\overrightarrow {ac}+\overrightarrow {cd}=\overrightarrow {ad}=\overrightarrow {ab}+\overrightarrow {bd}.$

${\overrightarrow {a_{1}a_{n}}}=\sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}$$\overrightarrow {a_{1}a_{n}}=\sum _{{i=1}}^{{n-1}}\quad \overrightarrow {a_{i}a_{{i+1}}}$ (relación de Chasles generalizada)

Inductivamente se aplica que $\sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}=\sum _{i=1}^{n-2}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}+\quad {\overrightarrow {a_{n-1}a_{n}}}.$$\sum _{{i=1}}^{{n-1}}\quad \overrightarrow {a_{i}a_{{i+1}}}=\sum _{{i=1}}^{{n-2}}\quad \overrightarrow {a_{i}a_{{i+1}}}+\quad \overrightarrow {a_{{n-1}}a_{{n}}}.$

Traslaciones

Dado un espacio afín $E\,$$E\,$ sobre $V\,$$V\,$ mediante $\varphi \,$$\varphi\,$ y un vector $u\in V$$u\in V$, una traslación de vector $u\,$$u\,$ en $E\,$$E\,$ es una aplicación dada por:

${\begin{matrix}T_{u}:&E&\longrightarrow {}&E\\&a&\longmapsto &b&:\varphi (a,b)=u\end{matrix}}$${\begin{matrix}T_{u}:&E&\longrightarrow {}&E\\&a&\longmapsto &b&:\varphi (a,b)=u\end{matrix}}$

Observaciones:

Se puede escribir como $T_{u}(a):=\varphi _{a}^{-1}(u)$$T_{u}(a):=\varphi _{a}^{{-1}}(u)$ que está bien definida por ser $\varphi _{a}$$\varphi _{a}$ biyectiva.

Propiedades

Dados los vectores $u,v\in V$$u,v\in V$ se tiene:

$T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.$$T_{u}\circ T_{v}=T_{{u+v}}.$

$T_{u}(a)=b\Leftrightarrow$$T_{u}(a)=b\Leftrightarrow$ $u=\varphi (a,b)$$u=\varphi (a,b)$ $T_{v}(b)=c\Leftrightarrow$$T_{v}(b)=c\Leftrightarrow$ $v=\varphi (b,c)$$v=\varphi (b,c)$ $T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v}(b)=c$$T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v}(b)=c$ $\varphi (a,c)=\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=u+v$$\varphi (a,c)=\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=u+v$ $\Rightarrow T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.$$\Rightarrow T_{u}\circ T_{v}=T_{{u+v}}.$

$\forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b$$\forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b$

$u:=\varphi (a,b)$$u:=\varphi (a,b)$ y por tanto única por ser $\varphi$$\varphi$ una aplicación.

Proposición

Un espacio afín $E\,$$E\,$ sobre $V\,$$V\,$ queda univocamente determinado por el conjunto:

${\mathcal {T}}=\{T_{u}:E\to E$${\mathcal {T}}=\{T_{u}:E\to E$ es aplicación $\forall u\in V\}$$\forall u\in V\}$

si cumple:

a) $T_{v}\circ T_{u}=T_{v+u}$$T_{v}\circ T_{u}=T_{{v+u}}$

b) $\forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b.$$\forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b.$

Demostración

Sea $\varphi$$\varphi$ la aplicación dada por b): $\varphi (a,b):=u$$\varphi (a,b):=u$ $\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)$$\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)$ ya que: $T_{u}(a)=b\Leftrightarrow \varphi (a,b)=u$$T_{u}(a)=b\Leftrightarrow \varphi (a,b)=u$, $T_{v}(b)=c\Leftrightarrow \varphi (b,c)=v$$T_{v}(b)=c\Leftrightarrow \varphi (b,c)=v$ además $T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v+u}(a)=c\Rightarrow \varphi (a,c)=v+u.$$T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{{v+u}}(a)=c\Rightarrow \varphi (a,c)=v+u.$ $\varphi _{a}$$\varphi _{a}$ es biyectiva, es decir, $\forall a\in E,$$\forall a\in E,$ $\forall u\in V,$$\forall u\in V,$ $\exists !b\in E:$$\exists !b\in E:$ $\varphi _{a}(b)=u,$$\varphi _{a}(b)=u,$ por definición equivale a tomar $b:=T_{u}(a),$$b:=T_{u}(a),$ es única por ser $T_{v}$$T_{v}$ una aplicación.

Observación:

${\mathcal {T}}$${\mathcal {T}}$ es el conjunto de todas las traslaciones ya que $\exists !b:\varphi _{a}^{-1}(u)=b=T_{u}(a).$$\exists !b:\varphi _{a}^{{-1}}(u)=b=T_{u}(a).$

Un espacio afín $E\,$$E\,$ se designa por la terna $(E,V,\varphi )$$(E,V,\varphi )$ o $(E,V,T)$$(E,V,T)$ según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

$T_{0}=Id.$$T_{0}=Id.$

$\forall u\in V\;\;T_{\vec {0}}\circ T_{u}=T_{{\vec {0}}+u}=T_{u}\Rightarrow$$\forall u\in V\;\;T_{{{\vec {0}}}}\circ T_{u}=T_{{{\vec {0}}+u}}=T_{u}\Rightarrow$ $T_{\vec {0}}=Id.$$T_{{{\vec {0}}}}=Id.$

$T_{u}$$T_{u}$ es biyectiva y $T_{u}^{-1}=T_{-u}.$$T_{u}^{{-1}}=T_{{-u}}.$

$T_{u}\circ T_{-u}=T_{u-u}=T_{\vec {0}}=Id\Rightarrow$$T_{u}\circ T_{{-u}}=T_{{u-u}}=T_{{{\vec {0}}}}=Id\Rightarrow$ $T_{-u}=T_{u}^{-1}.$$T_{{-u}}=T_{u}^{{-1}}.$

Si $T_{v'}\circ T_{u}=T_{u'}\circ T_{v}$$T_{{v'}}\circ T_{u}=T_{{u'}}\circ T_{v}$ entonces $T_{u}=T_{u'}\Leftrightarrow T_{v}=T_{v'}.$$T_{u}=T_{{u'}}\Leftrightarrow T_{v}=T_{{v'}}.$

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si $\exists a\in E:T_{u}(a)=T_{v}(a)\Rightarrow u=v$$\exists a\in E:T_{u}(a)=T_{v}(a)\Rightarrow u=v$

Por la propiedad b) $T_{u}(a)=b=T_{v}(a)\Rightarrow u=v.$$T_{u}(a)=b=T_{v}(a)\Rightarrow u=v.$

Ejemplos:

Los espacios vectoriales $V\,$$V\,$ son espacios afines sobre sí mismos.

Demostración

Como mera distinción se nota ${\vec {V}}$${\vec {V}}$ como espacio vectorial y $V$$V$ para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación $\varphi$$\varphi$ como: ${\begin{matrix}\varphi :&V\times V&\longrightarrow {}&{\vec {V}}\\&(u,v)&\longmapsto &{\vec {w}}&=v-u\end{matrix}}$${\begin{matrix}\varphi :&V\times V&\longrightarrow {}&{\vec {V}}\\&(u,v)&\longmapsto &{\vec {w}}&=v-u\end{matrix}}$ Esta aplicación cumple las dos condiciones: 1) $\varphi _{u}$$\varphi _{u}$ es biyectiva ya que $\varphi _{u}^{-1}({\vec {w}})=w+u.$$\varphi _{u}^{{-1}}({\vec {w}})=w+u.$ 2) $\varphi (u,v)+\varphi (v,w)=(v-u)+(w-v)$$\varphi (u,v)+\varphi (v,w)=(v-u)+(w-v)$ $=w-u$$=w-u$ $=\varphi (u,w)$$=\varphi (u,w)$ Por tanto es un espacio afín. Traslación de vector 0 en el punto 0. Traslación de vector u y -u. Traslación de un vector u a v.

Dados dos espacios afínes $(E,V,T)$$(E,V,T)$ y $(E',V',T')$$(E',V',T')$, entonces también es un espacio afín la terna:

$(E\times E',V\times V',T\times T')$$(E\times E',V\times V',T\times T')$ donde ${\begin{matrix}T\times T'_{(u,v)}:&E\times E'&\longrightarrow {}&E\times E'\\&(a,b)&\longmapsto &(T_{u}(a),T'_{v}(b))\end{matrix}}.$${\begin{matrix}T\times T'_{{(u,v)}}:&E\times E'&\longrightarrow {}&E\times E'\\&(a,b)&\longmapsto &(T_{u}(a),T'_{v}(b))\end{matrix}}.$

Notación

Se usa como notación algebraica de $u={\vec {ab}}$$u={\vec {ab}}$:

• $u=b-a,$$u=b-a,$

• $b=u+a,$$b=u+a,$

• $a=b-u.$$a=b-u.$

Consistencia de la notación

En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos,$E,E$$E,E$ y $V\,$$V\,$, más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de éstos elementos: $u$$u$ como vector, $b$$b$ como punto extremo de $u$$u$ y $a$$a$ como punto origen de $u$$u$, también: $u=\varphi (a,b)=b-a$$u=\varphi (a,b)=b-a$ es consecuencia de que $\varphi$$\varphi$ es una aplicación, es decir, $\forall a,b\in E,\exists !u\in V:\varphi (a,b)=u,$$\forall a,b\in E,\exists !u\in V:\varphi (a,b)=u,$ $b=\varphi _{a}^{-1}(u)=u+a$$b=\varphi _{a}^{{-1}}(u)=u+a$ es consecuencia de que $\varphi _{a}$$\varphi _{a}$ es biyectiva, es decir, $\forall a\in E,u\in V,\exists !b\in E:\varphi (a,b)=u$$\forall a\in E,u\in V,\exists !b\in E:\varphi (a,b)=u$ $a=\varphi _{b}^{-1}(-u)=-u+b$$a=\varphi _{b}^{{-1}}(-u)=-u+b$ igual que antes, $\forall b\in E,u\in V,\exists !a\in E:\varphi (b,a)=-\varphi (a,b)=-u,$$\forall b\in E,u\in V,\exists !a\in E:\varphi (b,a)=-\varphi (a,b)=-u,$ lo cual justifica la notación. Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo $K\,$$K\,$ por vectores: $\forall \lambda \in K,\lambda u=\lambda {\vec {ab}}=\lambda b-\lambda a,$$\forall \lambda \in K,\lambda u=\lambda {\vec {ab}}=\lambda b-\lambda a,$ de uso puramente cuantitativo, se tiene que: Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir: $\forall a,b\in E,\forall \alpha ,\beta \in K$$\forall a,b\in E,\forall \alpha ,\beta \in K$ $\alpha a+\beta b$$\alpha a+\beta b$ es un vectore si $\alpha +\beta =0.$$\alpha +\beta =0.$ Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir: $\forall a,b\in E,\forall \alpha ,\beta \in K$$\forall a,b\in E,\forall \alpha ,\beta \in K$ $\alpha a+\beta b$$\alpha a+\beta b$ es un punto si $\alpha +\beta =1.$$\alpha +\beta =1.$ No queda definido un sentido para el resto de casos.

• Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado $E\,$$E\,$ un espacio afín sobre $V\,$$V\,$ mediante $\varphi$$\varphi$ y $U\subset V$$U\subset V$ un subespacio vectorial. Se espera que $F\,$$F\,$ sea un espacio afín sobre $U\,$$U\,$ con $\varphi _{\vert F\times F}$$\varphi _{{\vert F\times F}}$ por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2) $\varphi (a,b)+\varphi (b,c)$$\varphi (a,b)+\varphi (b,c)$ $=\varphi (a,c)$$=\varphi (a,c)$ es heredado del espacio afín $E\,$$E\,$

1) $\varphi _{a}$$\varphi _{a}$ es biyectiva, es decir:

${\begin{matrix}\varphi _{a}:&F&\longrightarrow {}&U\\&b&\longmapsto &b-a&=v\\b=&v+a&\longleftarrow &v\end{matrix}}$${\begin{matrix}\varphi _{a}:&F&\longrightarrow {}&U\\&b&\longmapsto &b-a&=v\\b=&v+a&\longleftarrow &v\end{matrix}}$

de donde se deduce que $F-a\subset U$$F-a\subset U$ y $U+a\subset F$$U+a\subset F$ por tanto solo se ha de verificar que $F=a+U$$F=a+U$ para cualquier $a\in F$$a\in F$, es decir, $F\,$$F\,$ ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.

Dado un espacio afín $E\,$$E\,$ sobre $V\,$$V\,$, $a\in E$$a\in E$ y $U\subset V$$U\subset V$ un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por $a\,$$a\,$ y dirección $U\,$$U\,$ al conjunto $F\subset E$$F\subset E$ tal que:

$F:=\{b\in E:b-a\in U\}$$F:=\{b\in E:b-a\in U\}$ $=\{b\in E:b=u+a,u\in U\}$$=\{b\in E:b=u+a,u\in U\}$ $=\{a+u:u\in U\}$$=\{a+u:u\in U\}$ $=a+U.$$=a+U.$

Dados $u,v\in E$$u,v\in E$ diremos que pertenecen a un mismo espacio $F\,$$F\,$ de dirección $U\,$$U\,$ si $u-v\in U$$u-v\in U$.

La relación anterior es una relación de equivalencia

Se considera la relación $x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in U\rangle$$x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in U\rangle$ y se comprueban: Propiedad reflexiva: Dado un elemento $x\in F$$x\in F$ se tiene que $x-x={\vec {0}}\in U.$$x-x={\vec {0}}\in U.$ Propiedad de simetría: Dados dos elementos $x,y\in F$$x,y\in F$ se tiene que si $x-y=v\in U$$x-y=v\in U$ entonces $-v\in U$$-v\in U$ es decir $y-x\in U.$$y-x\in U.$ Propiedad transitiva: Dados tres elementos $x,y,z\in F$$x,y,z\in F$ se tiene que si $x-y\in U$$x-y\in U$ y $y-z\in U$$y-z\in U$ entonces $U\ni (x-y)+(y-z)=x-z$$U\ni (x-y)+(y-z)=x-z$ es decir $x-z\in U.$$x-z\in U.$

Aplicación entre espacios afines

Véase también

• Transformación afín

Bibliografía

• Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.

• Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.

• Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.

• J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.

• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 

• Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3