Espacio afín

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No hay puntos distinguidos por definición

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín[editar]

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Nota: las parejas de elementos de , esto es los elementos de son llamados « bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Dado un conjunto no vacío diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial si se tiene la siguiente aplicación:[1]

EspacioAfín1.svg
Visualización del orden de los puntos para o como origen y destino de una traslación.

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación es biyectiva, es decir:
EspacioAfín1b.svg
2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:
EspacioAfín1c.svg

Los elementos de se llaman puntos.

Se designa al vector por la notación , así la propiedad 2 se escribe como:

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementales[editar]

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados y puntos cualesquiera en un espacio afín .

Tenemos:

VectorNulo.svg

.

entonces como es biyectiva, se tiene que .

.

SentidoInverso.svg

(regla del paralelogramo).
ReglaParalelogramo.svg

Directo a partir de

(relación de Chasles generalizada)
Inductivamente se aplica que

Traslaciones[editar]

EspacioAfín2T.svg

Dado un espacio afín sobre mediante y un vector , una traslación de vector en es una aplicación dada por:

Observaciones:

Se puede escribir como que está bien definida por ser biyectiva.

Propiedades[editar]

Dados los vectores se tiene:

EspacioAfín1cT.svg

y por tanto única por ser una aplicación.

Proposición[editar]

Un espacio afín sobre queda univocamente determinado por el conjunto:[2]

es aplicación

si cumple:

a)
b)
Demostración
Sea la aplicación dada por b):
  • ya que:
,
además
  • es biyectiva, es decir, por definición equivale a tomar es única por ser una aplicación.

Observación:

es el conjunto de todas las traslaciones ya que
Un espacio afín se designa por la terna o según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades[editar]

PropPrim.svg
es biyectiva y
OrdenInverso.svg

Si entonces
ReglaParalelogramoDeTraslaciones.svg

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si
Por la propiedad b)

Ejemplos:

Los espacios vectoriales son espacios afines sobre sí mismos.[3]
Demostración
Como mera distinción se nota como espacio vectorial y para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación como:

Esta aplicación cumple las dos condiciones:

1) es biyectiva ya que

2)

Por tanto es un espacio afín.

Dados dos espacios afínes y , entonces también es un espacio afín la terna:[4]
donde

Notación[editar]

Se usa como notación algebraica de :[5]

Consistencia de la notación
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos, y , más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de éstos elementos: como vector, como punto extremo de y como punto origen de , también:
  • es consecuencia de que es una aplicación, es decir,
  • es consecuencia de que es biyectiva, es decir,
  • igual que antes,

lo cual justifica la notación.

Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo por vectores:

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[6]

  • Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
es un vectore si
  • Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
es un punto si

No queda definido un sentido para el resto de casos.

  • Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín[editar]

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado un espacio afín sobre mediante y un subespacio vectorial. Se espera que sea un espacio afín sobre con por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2) es heredado del espacio afín
1) es biyectiva, es decir:
de donde se deduce que y por tanto solo se ha de verificar que para cualquier , es decir, ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[7]

Dado un espacio afín sobre , y un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por y dirección al conjunto tal que:

Dados diremos que pertenecen a un mismo espacio de dirección si .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento se tiene que
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos se tiene que si entonces es decir
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos se tiene que si y entonces es decir

Aplicación entre espacios afines[editar]

Afinidades[editar]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Es común denominar a como espacio director, también se define como "espacio afín sobre " denotado por la terna en Máximo Anzola o "espacio afín sobre " en M. Castellet
  2. En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
  3. En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34
  4. En Marcel Berger se puede encotrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
  5. En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
  6. En M. Castellet se puede encontrar en el tema IX.6 pg 194.
  7. En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.

Bibliografía[editar]

  • Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
  • Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
  • J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.
  • Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3