No hay puntos distinguidos por definición
Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.
Definición de espacio afín[editar]
El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.
- Nota: las parejas de elementos de
, esto es los elementos de
son llamados « bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».
Dado un conjunto no vacío
diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial
si se tiene la siguiente aplicación:[1]
Visualización del orden de los puntos para

o como origen y destino de una traslación.
tal que se cumplan:
- 1) Fijado un punto a la aplicación
es biyectiva, es decir:
- 2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:
Los elementos de
se llaman puntos.
Se designa al vector
por la notación
, así la propiedad 2 se escribe como:
La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.
Observación:
- La aplicación
asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.
Propiedades elementales[editar]
De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:
Dados
y
puntos cualesquiera en un espacio afín
.
Tenemos:
|
.
entonces como es biyectiva, se tiene que .
.
|
(regla del paralelogramo).
|
Directo a partir de
|
(relación de Chasles generalizada)
|
Inductivamente se aplica que
|
Traslaciones[editar]
Dado un espacio afín
sobre
mediante
y un vector
, una traslación de vector
en
es una aplicación dada por:
Observaciones:
- Se puede escribir como
que está bien definida por ser
biyectiva.
Propiedades[editar]
Dados los vectores
se tiene:
|


|
|
y por tanto única por ser una aplicación.
|
Proposición[editar]
Un espacio afín
sobre
queda univocamente determinado por el conjunto:[2]
es aplicación
si cumple:
- a)

- b)

Demostración
|
Sea la aplicación dada por b):

ya que:
,
además

es biyectiva, es decir, por definición equivale a tomar es única por ser una aplicación.
|
Observación:
es el conjunto de todas las traslaciones ya que 
- Un espacio afín
se designa por la terna
o
según la primera o segunda definición respectivamente.
Propiedades[editar]
|
|
Si entonces
|
Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.
|
Si
|
Por la propiedad b)
|
Ejemplos:
- Los espacios vectoriales
son espacios afines sobre sí mismos.[3]
Demostración
|
Como mera distinción se nota como espacio vectorial y para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación como:
Esta aplicación cumple las dos condiciones:
1) es biyectiva ya que
2)
Por tanto es un espacio afín.
Traslación de vector 0 en el punto 0.
Traslación de vector u y -u.
Traslación de un vector u a v.
|
- Dados dos espacios afínes
y
, entonces también es un espacio afín la terna:[4]
donde 
Se usa como notación algebraica de
:[5]



Consistencia de la notación
|
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos, y , más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos: como vector, como punto extremo de y como punto origen de , también:
es consecuencia de que es una aplicación, es decir, 
es consecuencia de que es biyectiva, es decir, 
igual que antes, 
lo cual justifica la notación.
Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo por vectores:

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[6]
- Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
es un vectore si 
- Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
es un punto si 
No queda definido un sentido para el resto de casos.
|
- Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.
Definición de subespacio afín[editar]
Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.
Dado
un espacio afín sobre
mediante
y
un subespacio vectorial. Se espera que
sea un espacio afín sobre
con
por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:
- 2)
es heredado del espacio afín 
- 1)
es biyectiva, es decir:
- de donde se deduce que
y
por tanto solo se ha de verificar que
para cualquier
, es decir,
ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[7]
Dado un espacio afín
sobre
,
y
un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por
y dirección
al conjunto
tal que:

Dados
diremos que pertenecen a un mismo espacio
de dirección
si
.
La relación anterior es una relación de equivalencia
|
Se considera la relación y se comprueban:
- Propiedad reflexiva:
- Dado un elemento
se tiene que 
- Propiedad de simetría:
- Dados dos elementos
se tiene que si entonces es decir 
- Propiedad transitiva:
- Dados tres elementos
se tiene que si y entonces es decir 
|
Aplicación entre espacios afines[editar]
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Es común denominar a
como espacio director, también se define como "espacio afín sobre
" denotado por la terna
en Máximo Anzola o "espacio afín sobre
" en M. Castellet
- ↑ En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
- ↑ En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34
- ↑ En Marcel Berger se puede encontrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
- ↑ En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
- ↑ En M. Castellet se puede encontrar en el tema IX.6 pg 194.
- ↑ En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.
Bibliografía[editar]
- Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
- Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
- Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
- J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.