Relación transitiva

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Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:


   \forall a, b, c \in \mathbb{A}:
   \quad  aRb \quad \and \quad  bRc
   \longrightarrow \quad
   aRc

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Ejemplos[editar]

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:


   \forall a, b, c \in \N :
   \quad a \le b \quad \and \quad b \le c
   \longrightarrow \quad
   a \le c

Así, puesto que:


   2, 5, 7 \in \N :
   \quad 2 \le 5 \quad \and \quad 5 \le 7
   \longrightarrow \quad
   2 \le 7

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:


   \forall a, b, c \in \N :
   \quad a | b \quad \and \quad b | c
   \longrightarrow \quad
   a | c

Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple X \not\subset Y y  Y\not\subset Z pero no se cumple  X\not\subset Z puesto que X es subconjunto de Z.

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Representación[editar]

Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:

  • Como grafo, cada vez que desde un nodo v_1 se pueda llegar a otro v_3, pasando primero por un nodo intermedio v_2, entonces también existirá la arista (v_1, v_3).

Véase también[editar]

Propiedades de la relación binaria homogénea: