Relación de orden
Una relación de orden o más conocida como "Orden en R" es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que ayuda a la creación del orden del mismo.
Índice
Definición[editar]
Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden[1]
- Reflexiva: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .
- Antisimétrica: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
- Transitiva: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
Una relación de orden sobre un conjunto puede denotarse con el par ordenado .
- Relación de orden amplio
En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.[2] La inclusión no es una relación de orden total.
Relación de orden total[editar]
Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,
.
- Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
- Reflexivo: entonces (porque por definición, )
- Antisimétrico: si y entonces
- Transitivo: si y entonces
- Orden total, pues
Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b ó b ≤ a.[3]
- Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues
- 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.[4]
Relación de orden parcial[editar]
Sea un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de se relacionan entre sí, es decir,
tal que .
- Ejemplo. Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por:
Entonces es parcialmente ordenado, pues sean
- pero
Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.
Relación de orden densa[editar]
Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.
- Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3:= (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
- Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier real t existen los enteros k y k+1, tal que k ≤ t < k+1.[5]
Véase también[editar]
Esquema de temas relacionados[editar]
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Referencias[editar]
Bibliografía[editar]
- Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society.
- Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés) (2nd. edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1.
- Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3.
- Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2.
- Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.