Relación de orden

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En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.

Definición[editar]

Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden[1] si cumple las siguientes propiedades:

  1. Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .
  2. Antisimetría: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
  3. Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

Una relación de orden sobre un conjunto puede denotarse con el par ordenado .

Relación de orden amplio

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.[2] La inclusión no es una relación de orden total.

Relación de orden total[editar]

Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,

.

  • Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: entonces (porque por definición, )
    • Antisimétrico: si y entonces
    • Transitivo: si y entonces
    • Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m.[3]

Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues
5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.[4]

Relación de orden parcial[editar]

Sea un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de se relacionan entre sí, es decir,

tal que .

  • Ejemplo. Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por:

Entonces es parcialmente ordenado, pues sean

pero

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa o bien ordenada[editar]

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (xy y xy), existe otro z en X tal que x < z < y.

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3:= (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier real t existen los enteros k y k+1, tal que k ≤ t < k+1.[5]

Véase también[editar]

Esquema de temas relacionados[editar]

Teoría del orden
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Relación bien fundada

Referencias[editar]

  1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
  2. Rojas: Álgebra I
  3. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
  4. Rojas, Op. cit
  5. Esta propiedad permite definir la función máximo entero

Bibliografía[editar]

  • Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 
  • Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés) (2nd. edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. 
  • Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 
  • Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 
  • Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.