Relación de orden

En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.

Definición

Sea $A$ un conjunto dado no vacío y $R$ una relación binaria definida en $A$, entonces se dice que $R$ es una relación de orden​ si cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexividad: Todo elemento de $A$ está relacionado consigo mismo. Es decir, $\forall x\in A,\;xRx$.
2. Antisimetría: Si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, $\forall x,y\in A,\;xRy,\;yRx\;\Rightarrow \;x=y$
3. Transitividad: Si un elemento de $A$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, $\forall x,y,z\in A,\;xRy,yRz\Rightarrow xRz$

Una relación de orden $R$ sobre un conjunto $A$ puede denotarse con el par ordenado $(A,\leq )$.

Relación de orden amplio

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.​ La inclusión no es una relación de orden total.

Relación de orden total

Sea $A$ un conjunto dado, $\leq$ es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\forall x,y\in A,(x\leq y)\vee (y\leq x)$.

• Ejemplo $(\mathbb {N} ,\leq )$ es totalmente ordenado. En efecto, es:
  • Reflexivo: $\forall n\in \mathbb {N} ,$ entonces $n\leq n$ (porque por definición, $n=n\,$)
  • Antisimétrico: $\forall n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} ,$ si $\;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;$ y $\;\;n_{2}\leq n_{1},\;\;$ entonces $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{1}$ $\Rightarrow n_{1}=n_{2}$
  • Transitivo: $\forall n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} ,$ si $\;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;$ y $\;\;n_{2}\leq n_{3},\;\;$ entonces $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}\Rightarrow n_{1}\leq n_{3}$
  • Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m.​

Contraejemplo, (ℤ₊, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues

5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ₊, 12 ≠ 5h.​

Relación de orden parcial

Sea $A$ un conjunto dado, $\leq$ es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\exists x,y\in A,$ tal que $(x\leq y)\vee (y\leq x)$.

• Ejemplo. Sea el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el conjunto potencia de $X$, definido por:

${\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Entonces $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ es parcialmente ordenado, pues sean

$A=\{1\},B=\{1,2\},C=\{3\}\in {\mathcal {P}}(X),$

$A\subseteq B,$ pero $(A\nsubseteq C)\wedge (C\nsubseteq A).$

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.

• Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q₁ < q₂ entonces tenemos que q₃:= (q₁+q₂)/2 satisface que: q₁ < q₃ < q₂.
• Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier real t existen los enteros k y k+1, tal que k ≤ t < k+1.​

Véase también

• Teoría del orden
• Desigualdad matemática
• Igualdad matemática

Esquema de temas relacionados

Teoría del orden Bien ordenado Orden total Parcialmente ordenado Preordenado Relación reflexiva Relación transitiva Relación antisimétrica Relación total Relación bien fundada

Bibliografía

• Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 

• Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés) (2nd. edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. 

• Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 

• Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 

• Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.