Conjunto preordenado

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Relación homogéneaRelación reflexivaRelación no reflexivaConjunto preordenadoRelación de dependenciaConjunto parcialmente ordenadoRelación de equivalenciaOrden totalAcotadoOrden total acotadoRelación binaria es 11.svg
Acerca de esta imagen

En matemática, especialmente en teoría del orden, preórdenes son ciertas clases de relaciones binarias que se relacionan con los conjuntos parcialmente ordenados. El nombre cuasiorden es también una expresión común para preórdenes. Muchas definiciones teóricas para los conjuntos parcialmente ordenados se pueden generalizar a preórdenes, pero el esfuerzo adicional de generalización raramente se necesita. Con todo hay campos de uso, tales como la definición de la convergencia vía redes en topología, donde los preórdenes no se pueden substituir por conjuntos parcialmente ordenados sin perder propiedades importantes.

Definición formal[editar]

Considere algún conjunto P y una relación binaria R en P. Entonces R es un preorden, o un cuasiorden, si es reflexiva y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

Es un conjunto preordenado, si cumple:

1.- La relación R es reflexiva si todo elemento a de P está relacionado consigo mismo.

2.- La relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

Entonces en una relación binaria de preorden.

Propiedad simétrica 5.svg

Si un preorden cumple también la propiedad simetrica para todo a, b de P, si a R b entonces b R a, (P, R) es una relación de equivalencia

Si un preorden cumple también la propiedad antisimétrica, es decir, a R b y b R a implica a = b, entonces (P, R) es un orden parcial.

Es importante diferenciar las siguientes tres propiedades:

  • La relación R es simétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b también está relacionado con el a.

Para todo a, b de P, si se cumple que a esta relacionada con b entonces b esta relacionada con a.

  • La relación R es antisimétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b no está relacionado con el a.

Para todo a, b de P, si se cumple que a esta relacionada con b entonces b no esta relacionada con a.

  • La relación R es asimétrica si no cumple ninguna de las dos condiciones anteriores.

Ejemplo[editar]

Grafo ki001.svg
Grafo ki001b.svg

Un grafo dirigido, que tiene al menos un ciclo, es preordenado dado que cumple la propiedad reflexiva y transitiva, y no es ni simétrico ni antisimétrico.

Esquema de temas relacionados[editar]

Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Relación bien fundada


Referencias[editar]