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Conjunto denso

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En topología, se dice que un subconjunto de un espacio topológico es denso en si cada punto de pertenece a o está "arbitrariamente cerca" de .

Formalmente, un subconjunto es denso en si el menor conjunto cerrado de que contiene a es el mismo .

Definición

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Sea un espacio topológico y un subconjunto.

Se dice que es denso en si y solo si , es decir, la clausura topológica del subconjunto es todo el espacio.

Las siguientes proposiciones para son equivalentes:

  1. es denso en .
  2. El menor conjunto cerrado de que contiene a es el mismo .
  3. El interior del complemento de es vacío, es decir, .
  4. interseca a todo abierto no vacío de .
  5. Todo punto pertenece a o es punto de acumulación de .

Otras proposiciones

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  • Si dos aplicaciones continuas de X en Y, siendo Y un espacio de Hausdorff, coinciden en un conjunto denso; entonces coinciden en todo el espacio X.
  • D1 y D2 son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:
  • Sean D1 , D2 subconjuntos densos de X , además D1 o D2 es abierto, entonces D1∩D2 es denso[1]

Ejemplos

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  • Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
  • e son subconjuntos densos en con la topología usual.
  • Los polinomios son densos en el conjunto de las funciones continuas definidas en , dotado de la topología asociada a la distancia .

Espacio separable

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Si contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son y (el espacio de las funciones continuas que van de a ).

Referencias

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  1. Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de la topología general ISBN 84-78-29-006-0

Véase también

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