Polígono convexo

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Un decágono regular. Todos los polígonos regulares y simples son polígonos convexos.

Un polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o radianes.[cita requerida] Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina Polígono cóncavo.

Los polígonos convexos presentan una gran cantidad de propiedades matemáticas que los hace especialmente útiles en la resolución de problemas de geometría, geometría computacional e informática gráfica.

Todos los triángulos son polígonos convexos, salvo los triángulos degenerados. Todos los polígonos regulares son convexos, salvo los polígonos estrellados regulares.

Propiedades de los polígonos convexos[editar]

El cierre convexo de una serie de puntos es siempre un polígono convexo
Triangulación en abanico de un polígono convexo, empleando las diagonales de un vértice.

Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:

  • Todos sus ángulos internos son menores o iguales a 180 grados.
  • Todo segmento cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono es interno al polígono.
  • Todas sus diagonales son internas al polígono (consecuencia de la propiedad anterior).
  • El interior del polígono está completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados.
  • El interior del polígono está completamente contenido en la región angular interior del ángulo de cada uno de sus vértices.
  • El polígono coincide con el cierre convexo de sus vértices.
  • Todo polígono simple y cíclico, es decir, aquellos polígonos cuyos vértices tocan todos a su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
  • Todo polígono simple y regular son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen polígonos estrellados regulares.

Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:

  • La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
  • Todos los polígonos convexos son monótonos.
  • La suma de los ángulos de un polígono convexo de lados es radianes.[1]
  • El número de diagonales de un polígono de n lados es:.
  • En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía (Teorema de Helly).
  • Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos (Teorema de Krein-Milman). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
  • Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
  • De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.[2]
  • Todo polígono convexo con área puede ser inscrito en el interior de un triángulo de área menor o igual a . El área será únicamente si el polígono es un paralelogramo.[3]
  • El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por . Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una circunferencia del mismo perímetro que el polígono[4]
  • Para todo polígono convexo , podemos inscribir dentro un rectángulo tal que una copia homotética de , llamada , será circunscrita a y la razón de homotecia será menor o igual a 2, y además .[5]

Referencias y Enlaces externos[editar]

  1. Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una Triangulación en abanico en (n-2) triángulos.
  2. -, Christos. «Is the area of intersection of convex polygons always convex?». Math Stack Exchange. 
  3. Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World. 
  4. Jim Belk. «What's the average width of a convex polygon?». Math Stack Exchange. 
  5. Lassak, M. (1993). «Approximation of convex bodies by rectangles». Geometriae Dedicata 47: 111. doi:10.1007/BF01263495.