Recta tangente

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Recta tangente a un punto
Plano tangente a una esfera.
Diferentes rectas secantes y una tangente a una curva.

Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, \R^1.

Definición[editar]

Sea \scriptstyle \mathcal{C} una curva, y \scriptstyle A un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en \scriptstyle A la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a \scriptstyle \mathcal{C} en \scriptstyle A es la recta \scriptstyle T_A que pasa por \scriptstyle A y que tiene la misma dirección que \scriptstyle \mathcal{C} alrededor de \scriptstyle A.

La tangente es la posición límite de la recta secante (\scriptstyle \overline{AM}) (el segmento \scriptstyle \overline{AM} se llama cuerda de la curva), cuando \scriptstyle M es un punto de \scriptstyle \mathcal{C} que se aproxima indefinidamente al punto \scriptstyle A (\scriptstyle M se desplaza sucesivamente por \scriptstyle M_1, M_2, M_3, \dots

Si \scriptstyle \mathcal{C} es punto de una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta \scriptstyle \overline{AM} tendrá como coeficiente director (o pendiente):

\frac {f(x) - f(a)} {x - a}

Donde \scriptstyle (a,f(a)) son las coordenadas del punto \scriptstyle A y \scriptstyle (x,f(x)) las del punto \scriptstyle M. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

\lim_{x \to a} \frac {f(x) -  f(a)} {x - a}

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es \scriptstyle T_A:

y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente \scriptstyle \overline{AM} que pasa por el punto \scriptstyle (a,f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por  \frac {-1} {f'(a)}. Siendo su ecuación:

y = -\frac{x-a}{f'(a)} + f(a)

suponiendo claro está que \scriptstyle f'(a) \ne 0. Si \scriptstyle f'(a) = 0 entonces la recta normal es simplemente \scriptstyle x = a.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]