Geometría diferencial

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En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.[1]

Mientras que la topología diferencial se centra únicamente en las propiedades topológicas de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del cálculo multivariable a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades geométricas tales como distancias y ángulos si se le dota de una métrica de Riemann; y características como geodésicas y curvatura si se añade una conexión.[2]

La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable.

Geometría diferencial de curvas y superficies[editar]

Variedades diferenciables[editar]

Una variedad es un objeto matemático que generaliza las nociones de curvas y superficies a objetos de más de dos dimensiones, no necesariamente embebidos en el espacio euclídeo. De forma intuituva, una variedad es un conjunto que localmente es similar al espacio euclideo de dimensión , para cierto entero positivo que se denomina dimensión de la variedad.

El modo de describir esta relación entre ambos conjuntos es por medio de colecciones de funciones, llamadas cartas. A la colección de estas cartas se le denomina atlas. Un atlas para una variedad es una colección de pares , donde

  • cada conjunto es un entorno abierto de la variedad.
  • la unión de todos los abiertos recubre : .
  • cada función es biyectiva.

A las funciones se les denomina funciones de coordenadas. Para cada par de índices , la función

está bien definida cuando las imágenes de ambas cartas tienen intersección no vacía. Estas funciones se denominan funciones de transición, y son funciones reales de varias variables, cuyas propiedades son bien conocidas. Dependiendo de qué propiedades tengan estas funciones, hablaremos de un tipo de variedad o de otra.

Sobre la base de una variedad se pueden definir niveles sucesivos de estructura que añaden propiedades adicionales. En general, estas dependen de las propiedades que son conservadas por las funciones de transición; en otros casos es necesario especificar la estructura adicional de forma explícita:

Aplicaciones diferenciables entre variedades[editar]

Cuando dos variedades tienen estructura de variedad diferenciable, entonces podemos definir la noción de aplicación diferenciable entre ellas. Sean dos variedades y , de dimensiones y , con estructura diferenciable respecto de los atlas y .

Se dice que una aplicación es diferenciable en un punto p si para todo par de cartas y , centradas en p y en f(p) respectivamente, la composición

es diferenciable como función multivariable . Se dice que la aplicación es diferenciable' si es diferenciable en todo punto de . El que las funciones de transición sean diferenciables garantiza que la definición no dependa de las cartas elegidas.[5]

Se tienen las siguientes propiedades:

  • La composición de dos funciones diferenciables es diferenciable.
  • Las funciones de coordenadas son diferenciables, y por tanto difeomorfismos.[6]

Variedades tangentes[editar]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Tu, 2011, p. 54.
  2. Tu, 2017, «Prefacio», p. v.
  3. Tu, 2011, p. 48.
  4. Tu, 2011, p. 49-51.
  5. Tu, 2011, p. 61.
  6. Tu, 2011, p. 63.

Bibliografía[editar]

  • do Carmo, Manfredo P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (2ª edición). Dover. 
  • Tu, Loring (2011). An Introduction to Manifolds (2ª edición). Springer. 
  • Tu, Loring (2017). Differential Geometry. Springer. 
  • Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer. 

Enlaces externos[editar]