Rectángulo

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Rectángulo ABCD.

En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados.

P = 2 \cdot b + 2 \cdot a \,

El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos.

A = b \cdot a

Definición[editar]

Un rectángulo es una figura geométrica que tiene un ángulo interior de 90º. Es un paralelogramo, es decir todos sus lados son paralelos. [1] .[2] .

Propiedades[editar]

  • Sus lados paralelos son iguales.
  • Sus dos diagonales son iguales, y se bisecan mutuamente o se cortan en el punto medio común; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para puntos del rectángulo [3] .
  • Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.
  • El rectángulo tiene dos simetrías axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro[4]
  • Posiblemente, de modo empírico, en el antiguo Egipto se obtuvo la terna pitagórica 3 - 4 - 5, como medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo, y lo usaron en la cuerda del agrimensor de 15 nudos[5] [6]
  • Si se unen los cuatro puntos medios de los cuatro lados, mediante cuatro segmentos, se obtiene un rombo cuya área es la mitad de la del respectivo rectángulo.
  • Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diámetros coinciden con las diagonales del rectángulo.
  • Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio de del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo.
  • Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo.[7]
  • Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ. [8]

Rectángulos con nombre propio[editar]

Rectángulo áureo.
  • El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus lados tienen la misma longitud.
  • El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.
Representación gráfica de un ortoedro que generaliza la construcción de un rectángulo, en el espacio euclídeo tridimensional.
  • Rectángulo  \sqrt{2} (rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h =  \sqrt{2}. El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el original, o sea que son también rectángulos raíz de 2. Es por ello que, entre otros usos, es el formato utilizado para dimensionar las hojas de papel según las normas DIN 476 e ISO 216. Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.
  • Doble cuadrado, aquel cuyos lados están en la relación 2:1.
  • Pantallas de televisión. Hasta la introducción de los monitores de alta definición, cuya relación [ancho:alto] habitual es [16:9], los sistemas de televisión convencionales utilizaban rectángulos con la proporción [4:3]. Dado que estas proporciones son fijas, basta con conocer la medida de la diagonal (normalmente expresada en pulgadas) para establecer el tamaño de la pantalla.

Magnitudes geométricas para un rectángulo[editar]

Dada una figura bidimensional pueden definirse los n-momentos de área centrados como:

M^{(n)}_{x_1\dots x_n} = \int_A x_1\dots x_n\ dA

El 0-momento coincide con el área, los dos 1-momentos se llaman primeros momentos de área (o momentos estáticos) \scriptstyle S_x = M^{(1)}_x,\ S_y = M^{(1)}_y son nulos para cualquier figura plana. Los 2-momentos se llaman segundos momentos de área (o momentos de inercia planos) y para un rectángulo son:

I_{xx} = M^{(2)}_{xx} = \frac{bh^3}{12},
\quad I_{yy} = M^{(2)}_{yy} = \frac{hb^3}{12},
\quad I_{xy}=I_{yx}= M^{(2)}_{xy} = 0

Donde b es la base del rectángulo y h su altura.

Rectángulos cruzados[editar]

Crossed rectangles.png

Un cuadrilátero cruzado (es decir, que se interseca a sí mismo) consiste en dos lados opuestos de un cuadrilátero junto con sus dos diagonales (véase antiparalelogramo). Del mismo modo, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado formado por dos lados opuestos de un rectángulo junto con sus dos diagonales. Tiene la misma disposición de vértices que el rectángulo. Aparece como dos triángulos idénticos con un vértice común. La intersección geométrica no se considera un vértice propiamente dicho.

Un cuadrilátero cruzado a veces se asemeja a un lazo de pajarita o a una mariposa. Un marco rectangular de alambre toma la forma de un cuadrilátero cruzado cuando se hacen girar en un espacio tridimensional sus lados cortos en sentido opuesto. Un rectángulo cruzado a veces también se denomina un "ocho angular".

El interior de un rectángulo cruzado puede tener un densidad poligonal de ± 1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación (en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) con la que se recorrran.

Un rectángulo cruzado no es equiangular. La suma de sus ángulos interiores (dos agudos y dos obtusos), como en cualquier cuadrilátero cruzado, es de 720°.[9]

Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes características en común:

  • Los lados opuestos tienen la misma longitud.
  • Las dos diagonales tienen la misma longitud.
  • Tiene dos líneas de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 2 (180°).

Otros rectángulos[editar]

Una silla de montar tiene 4 vértices no coplanarios (los vértices alternados de un ortoedro). Es una superficie minimal interior definida como una combinación lineal de los 4 vértices. Este ejemplo muestra 4 lados azules del rectángulo, y las dos diagonales en color verde, todos diagonales de las caras rectangulares del ortoedro.

En geometría esférica, un rectángulo esférico es una figura cuyos cuatro lados son arcos de círculos máximos, sus cuatro ángulos son iguales y mayores de 90°, y sus arcos opuestos tienen la misma longitud.

En geometría elíptica, un rectángulo elíptico es una figura en el plano elíptico cuyas cuatro aristas son arcos elípticos, que se cortan con ángulos iguales y mayores de 90°, y sus arcos opuestos tienen la misma longitud.

En geometría hiperbólica, un rectángulo hiperbólico es una figura en el plano hiperbólico cuyas cuatro aristas son arcos hiperbólicos que se cortan con cuatro ángulos iguales menores de 90°, y cuyos arcos opuestos tienen la misma longitud.

Teselados[editar]

El rectángulo se utiliza en muchos patrones de teselados periódicos, como por ejemplo estos mosaicos:

Stacked bond.png
Unión apilada
Wallpaper group-cmm-1.jpg
Unión desplazada
Wallpaper group-p4g-1.jpg
Trenzado de cesta
Basketweave bond.svg
Trenzado de cesta
Herringbone bond.svg
Espina de pez

Cuadrado, perfecto, y otros rectángulos[editar]

Un rectángulo puede ser embaldosado mediante cuadrados, rectángulos, o triángulos. Se dice que el recubrimiento es Perfecto[10] [11] si todas las baldosas son semejantes, tiene un número finito de baldosas, y no hay dos baldosas del mismo tamaño. Si dos de estas baldosas son del mismo tamaño, se dice que el recubrimiento es imperfecto. En un recubrimiento perfecto (o imperfecto) triangulado, los triángulos deben ser rectángulos.

Un rectángulo tiene lados conmensurables sí y sólo sí puede ser recubierto por un número finito de cuadrados distintos.[10] [12] Lo mismo es cierto si las baldosas son triángulos isósceles desiguales.

Los recubrimientos de rectángulos con otras formas geométricas que han atraído la mayor atención son los de poliominós no rectangulares congruentes, permitiendo todas las rotaciones y reflexiones. También hay embaldosados ​​mediante poliábolos congruentes.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Michel Helfgott. Geometría plana, Editorial Escuela Activa S. A.
  2. No se dice que tiene únicamente un ángulo de 90º; sobre la base de ello, el ángulo opuesto es de 90º, por ser paralelogramo; los dos restantes suman 180º, como son opuestos son iguales, cada cual mide 90º
  3. Julio Rey Pastor et al. Geometría Analítica
  4. Clemens: "Geometría. Con aplicaciones y solución de problemas"
  5. Alsina: "La recta de los números. Teorema de Albert Einstein"
  6. Hoffmann: Historia de la Matemática
  7. Michel Helfgott. Op. cit.
  8. G.M: Bruño. Elementos de Geometría
  9. Stars: A Second Look. (PDF). Retrieved 2011-11-13.
  10. a b R.L. Brooks, C.A.B. Smith, A.H. Stone and W.T. Tutte (1940). «The dissection of rectangles into squares». Duke Math. J. 7 (1): 312-340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9. 
  11. J.D. Skinner II, C.A.B. Smith and W.T. Tutte (November 2000). «On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles». J. Combinatorial Theory Series B 80 (2): 277-319. doi:10.1006/jctb.2000.1987. 
  12. R. Sprague (1940). «Ũber die Zerlegung von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate». J. fũr die reine und angewandte Mathematik 182: 60-64. 

Enlaces externos[editar]