Octógono

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Octógono regular.
Un octógono irregular

Octógono u octágono[nota 1] es una figura plana con ocho lados y ocho vértices.

Características[editar]

Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, D=n(n-3)/2; siendo el número de lados n=8, tenemos:

D=\frac{8(8-3)}{2}=20

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados ó 6\pi radianes.

Octágono regular[editar]

Construcción de un octógono regular con regla y compás

Un octágono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135º ó 3\pi/4 rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45º ó \pi/4 rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).

P = n\cdot t = 8\ t

pero si solo se conoce la longitud del apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:

P = 16 a(\sqrt{2} - 1)

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

Octógono regular
A = \frac{8t^2}{4\ tan(\frac{\pi}{8})}\simeq 4,8284\ t^2

donde \pi es la constante pi y tan es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

A = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{8t\cdot a}{2} = 4(t \cdot a)

Si sólo conocemos el lado t, podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

A = 2t^2 (1+ \sqrt{2})

Relación con el cuadrado[editar]

  • El octógono regular inscrito tiene mayor perímetro y área que el cuadrado inscrito en la misma circunferencia, de igual modo un exadecágono regular inscrito tiene mayor área y perímetro que el octógono regular inscrito en la misma circunferencia. [1]
  • El octógono regular circunscrito tiene menor perímetro y área que el cuadrado circunscrito en la misma circunferencia, de igual modo un exadecágono regular circuncrito tiene menor área y perímetro que el octógono regular circunscrito en la misma circunferencia. [2]
  • En el primer caso se tiene una sucesión de figuras, en orden creciente de áreas y perímetros limitados por la circunferencia, en el segundo caso una sucesión de figuras con áreas y perímetros decrecientes limitados por la misma circunferencia. Oportunidad que le permitió a Arquímedes calcular el valor de π ( razón de la circunferencia sobre el diámetro), aproximadamente igual a 22/7 [3]

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. La RAE reconoce la validez de ambas formas, pero prefiere "octógono". «octágono», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=oct%C3%A1gono .
  1. Elementos de geometría. Editorial Bruño
  2. Editorial Bruño. Op. cit.
  3. Tom Apostol. Calculus

Enlaces externos[editar]