Circunferencia

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La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.[1]

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto llamado centro.

Distíngase de círculo: lugar geométrico que incluye la circunferencia que lo determina y los puntos del interior de esta.

Historia[editar]

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.[2]

Terminología frecuente[editar]

Una circunferencia (C) en negro, diámetro (D) en cian, radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:

  • El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia.
  • Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre.
  • Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del mismo nombre.
  • El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud.
    ArcoFlechaCuerda.svg
  • Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia. El diámetro es un cuerda de máxima longitud.
  • Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que determinan sus extremos.
  • Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatriz que hay entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por el centro.
  • Una semicircunferencia es cualquier arcos delimitado por los extremos de un diámetro.

Formulario[editar]

La longitud de una circunferencia en función del radio y del diámetro es:

donde es la constante pi.

El área del círculo o de la región delimitada por una circunferencia:

Área =

Propiedades[editar]

Solo las rectas que contengan el centro de la circunferencia pueden ser un eje de simetría de esta.
Los puntos de la circunferencia sobre cualquier perpendicular a las recta que pasa por el centro son equidistantes a esta. Al construir un triángulo isósceles con dos radios y la perpendicular queda probado que son equidistantes a la recta que ahora se le puede llamar recta de simetría.
Las circunferencias son invariantes a cualquier rotación con el eje en el centro de la esta circunferencia.
Trivial despues de entender que los radios sufren una rotación, por tanto, no modifican su longitud ni su origen conmún, ya que se trata de un desplazamiento del plano y por tanto una isometría.

Posiciones relativas respecto la circunferencia[editar]

Los puntos[editar]

PosicionPuntoRCircunferencia.svg

Posicines de los puntos respecto de la circunferencia:

  • Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferenica respecto la posición de su centro.
  • Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro.

Las rectas[editar]

Rectas y circunferencias 01.svg

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:

  • Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con la circunferencia.
  • Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto.
  • Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos.[3]

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.

Propiedades[editar]
Toda recta tangente de una circunferencia es perpendicular al radio que contiene el punto de tangencia.
Por reducción al absurdo, se puede suponer que no es perpendicular, por tanto, se puede construir un triángulo isósceles con otro radio, probando así que hay otro punto de tangencia diferente al primero y como este debería ser único implica la negación de que no sean perpendiculares y por tanto es un ángulo recto.

Entre circunferencias[editar]

Posiciones entre circunferencias:

PosicionesCircunferencias.svg
  • Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.
  • Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.
  • Una circunferencia es circundante a otra, si todos sus puntos no son interiores a esta otra que a su vez no es exterior a la primera. Véase las figuras 7 y 8.
  • Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la figura 2.
  • Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común. Véase la figura 7.
  • Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase la figura 4.
  • Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos. Véase la figura 3.
  • Una circunferencia es secante ortogonalmente a otra, si el ángulo de su intersección es recto, es decir, sus rectas tangentes en cada una de las intersecciones son perpendiculares.
  • Son excéntricas las circunferencias que no tienen el mismo centro.
  • Son concéntricas las circunferencias que tienen el mismo centro, es decir, las que no son excénctricas.
  • Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.
Propiedades[editar]
Los centros de las circunferencias tangentes en un punto están alineados con este punto.
Como la recta tangente en el punto es perpendicular al radio, implica que todos los radios son perpendiculares a dicha recta tangente en el mismo punto, es decir, todos los centros están alineados.
Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos.
Por reducción al absurdo, se puede suponer que se cortan en un tercer punto más, entonces, se puede forman un triángulo con una única circunferencia circunscrita, por tanto contradice que hayan dos circunferencias distintas por dichos puntos.

Para los casos de cortes en dos puntos y en un único punto solo hace falta poner ejemplos triviales.

Una demostraciones algebraica puede demostrar esta propiedad probando que la ecuación de la circunferencia queda determinada de forma única solo a partir del tercer punto.

Ángulos en una circunferencia[editar]

PosicionesAngulos.svg

Posición de los ángulos respecto de una circunferencia, puede ser:

  • Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.[4]​ Véase la figura 1.
  • Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia cuyos lados determinan una cuerdas cada uno en la dicha circunferencia.[4]​ Véase la figura 2.
  • Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados secantes determina una cuerda y el otro una recta tangente a la circunferencia, es decir, que el vértice es un punto de tangencia.[4]​ Véase la figura 3.
  • Un ángulo ex-inscrito es el que tiene su vértide sobre la circunferencia y uno de sus lados determina una cuerda y la prolongación del otro determina otra cuerda, es decir, es el ángulo exterior de un ángulo inscrito.[5]​ Véase la figura 4.
  • Un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.[4]​ Véase la figura 5.
  • Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y cada lado es tangente o secante a la circunferencia.[4]​ Véanse las figuras 6,7 y 8.
Propiedades[editar]
AnguloCentralSimple.svg

El ángulo central de amplitud en la circunferencia de radio determina la longitud del arco resaltado en la figura de azul. Si el ángulo está en grados:

Si el ángulo está en radianes:

RelacionAngulos.svg

El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.

Los ángulos inscrito, semi-inscrito, ex-inscrito de amplitud en la circunferencia de radio determinan la longitud del arco resaltado en la figura de azul. Si el ángulo está en grados:

Si el ángulo está en radianes:

Diversos tipos de ángulos aparecen en el analisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Inscripción y circunscripción[editar]

Diremos que una circunferencia está cirunscrita si todos los vértices de un polígono están sobre esta.

Diremos que una circunferencia está inscrita si es tangente a todos los lados de un polígono.

Representación de la circunferencia[editar]

La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos.

Ecuación de la circunferencia[editar]

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

Una circunferencia queda determinada por un centro, , y un radio, , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, , al centro sea constante, es decir, dando la siguiente ecuación:[6][7]

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma que satisfacen la ecuación

La ecuación anteror es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es:[8][9][10][11][12]

Su función implícita es y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación

Propiedades[editar]

Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir de su ecuación extendida:

Aplicando cuadratura a y se deduce que:

y por tanto de donde:

A partir de los puntos extremos de un diámetro: , la ecuación de la circunferencia es:

Función paramétrica[editar]

La circunferencia con centro en y radio se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro para obtener una función paramétrica

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

Primero se utiliza un haz de rectas del tipo para proyectar los valores de sobre la recta vertical que seran de la forma y proyectando seran de la forma .
Proyección sobre recta horizontal.

Si se substituye sobre la circunferencia unidad nos dará la intersección de la proyección sobre esta circunferencia y por tanto los puntos de esta paramétricamente:

finalmente subtituyendo sobre el haz y arreglando las fracciones queda

donde que incluye un punto en el infinito.[13]

Función paramétrica en el plano complejo[editar]

En el plano complejo, una circunferencia con centro y radio a partir de la ecuación de la circunferencia se tiene la forma paramétrica:[14][15]

Función vectorial[editar]

Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio vectorial usando dos vectores ortonormales y , y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la circunferencia en cualquier plano oblico con centro y radio que viene dada o descrita por la función vectorial:

donde

Ecuación en coordenadas polares[editar]

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:[cita requerida]

Otras propiedades[editar]

  • El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto (véase arco capaz).
Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
  • Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:

Circunferencia en topología[editar]

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.[16]​ Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como , dando lugar a posibles confusiones.[17]

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.[18]​También el caso de una poligonal cerrada.

Circunferencias especiales[editar]

Circunferencias de Cardanus[editar]

Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano[19]

Circunferencia directriz[editar]

Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunferencia directriz.[19]

Circunferencia osculatriz[editar]

Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz[19][20]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Circunferencia». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  2. Boyer: Historia de la matemática
  3. De forma muy particular y para facilitar explicaciones didácticas en diferentes libros es posible encontrar por recta radial o recta diametral a las rectas que contienen al centro, un diametro o un radio de una circunferencia.
  4. a b c d e RACEFN, ed. (1999). Diccionario Esencial de las Ciencias. Editorial Espasa Calpe, S.A. p. 61. ISBN 84-239-7921-0. 
  5. Dibujo técnico I Escrito por CESAR CALAVERA OPI, ISABEL JIMENEZ RUIZ, pg 52
  6. Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
  7. Segun la especialización del libro consultado, la barra simple o la doble barra vertical representa la distancia, en este caso corresponde a la distancia euclidiana donde la distancia entre dos puntos es
  8. "Introducción a la geometría" Eugenio Roanes Macías. Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
  9. "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica, Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
  10. "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús M. Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
  11. "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1
  12. "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9
  13. Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor, Santaló y Balanzat, pág. 76
  14. es una función analítica, usada para describir regiones circulares en plano complejo como arcos de circunferencias alrededor de un punto, por tanto, frecuente en diversa bibliografía de analisis.
  15. Weinberger, Hans F. (1992). Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (Dr. D. Francisco Vélez Cantarell, trad.) [Partial differential equations]. Ed Reverté, S.A. pp. a partir de la gágina 215. ISBN 84-291-5160-5. 
  16. Diccionario de términos de topología empleados por Jacques Lacan.
  17. Weisstein, Eric W. «Circle». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 2016. 
  18. Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología, Editorial Vicens Vives, Barcelona, España, 1966
  19. a b c Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7
  20. Cf. Barrett O'Neill. Elementos de Geometría Diferencial pág. 80 Limusa Wiley

Enlaces externos[editar]