Arco capaz

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Arco capaz del segmento AB, de ángulo λ.

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento.

El arco capaz de un segmento AB, de ángulo λ, es un par de arcos de circunferencia simétricos a cada lado del segmento AB que contiene los vértices de ángulo λ, y unidos por los puntos A y B. El ángulo que subtiende el segmento AB visto desde el centro del círculo es 2λ.

Arco capaz del ángulo de 90º

El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º teorema de Tales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.

Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos.

Demostración[editar]

Caso I: Puntos comprendidos entre los diámetros que pasan por A y B
Caso II: Puntos del arco no comprendidos entre los diámetros que pasan por A y B
Los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Dado un arco de circunferencia de centro C y la cuerda AB que limita dicho arco, el ángulo λ que forma cualquier punto P del arco con respecto al segmento AB es constante. De este modo el arco de circunferencia es el arco capaz del segmento AB y de ángulo λ.

Se considerarán dos casos:

  • Caso I: Puntos comprendidos entre los diámetros que pasan por A y B.
  • Caso II: Resto de puntos que componen el arco.
Puntos comprendidos entre los diámetros que pasan por A y B

Puesto que C es el centro del arco de circunferencia que pasa por A y B los segmentos CA, CB y CP son iguales, de tal manera que los triángulos ACB, PCB y ACP son isósceles.

De este modo, el ángulo PCB es 180 – 2CPB y el ángulo PCA es 180 – 2CPA.

Puesto que PCB + PCA + ACB = 360. Entonces:

360= (180-2CPB)+(180-2CPA)+ACB

CPB + CPA = ½ACB

Por otra parte CPB + CPA es el ángulo que subtiende el segmento AB respecto del punto P y ACB es el ángulo que dicho segmento subtiende respecto del centro de la circunferencia.

De este modo para cualquier punto P del arco contenido entre los puntos diametralmente opuestos a A y B, el ángulo visto por el punto P es siempre la mitad del ángulo visto desde el punto C.

Resto de puntos que componen el arco

En caso de que el punto no se encuentre a la derecha del diámetro que pasa por B, se cumple que APB = APC – BPC

Los triángulos PCA y PCB son isósceles puesto que PC, AC y CB son iguales.

De este modo APC = ½(180-PCA) y BPC = ½(180-(PCA+ACB)

Substituyendo resulta que:

APB = ½(180-PCA) – ½(180-(PCA+ACB)) = 1/2ACB

Por lo tanto el ángulo que forma el segmento AB visto por el punto P sigue siendo la mitad del ángulo que ve el punto C y por tanto es el mismo que en el caso anterior.

Por simetría, es evidente que si el punto se encontrase a la derecha del diámetro que pasa por el punto A, entonces la misma relación seguiría siendo válida.

Esto significa que dado un punto P cualquiera, perteneciente al arco de circunferencia que pasa por A y B, el ángulo que subtiende el segmento AB respecto al punto P es siempre el mismo.

Construcción del arco capaz[editar]

Construcción del arco capaz respecto del segmento AB, de ángulo λ.

Para construir el arco capaz, de ángulo λ, del segmento AB es posible seguir varios métodos:

Primer método
  • Se traza un triángulo APB, tal que un lado es AB y su ángulo opuesto de amplitud λ (primero dibujamos el ángulo λ. Después trazamos el segmento AB: sus extremos son dos puntos de los lados del ángulo).
  • Se trazan las mediatrices del dicho triángulo.
  • Estas mediatrices se cortan en el punto O, que es el centro del arco capaz buscado.
  • Bastará con dibujar con el compás un arco de centro O y radio OA.

El punto O es el circuncentro: el centro de la circunferencia circunscrita. Equidista del vértice y de los puntos A y B.

Segundo método
Trazado del arco capaz de ángulo α.

Para encontrar el punto C sólo hay que tener en cuenta que el triángulo ACB también es isósceles por tanto el ángulo BAC debe ser ½ (180-2 α) = 90 - α. Se traza la mediatriz del segmento AB y una recta que pasa por el punto A y que forma un ángulo de 90 - α respecto del segmento AB, el punto donde esta recta corta la mediatriz es el centro del arco capaz del ángulo α.

Tercer método
  • Se parte únicamente del segmento AB.
  • Se traza la mediatriz m de dicho segmento;
  • A continuación se traza la recta r que forme un ángulo λ con el segmento AB, con vértice en A;
  • Desde A, se dibujará una segunda recta s perpendicular a la recta r.
  • El punto de corte O entre la recta s y la mediatriz m es el centro del arco capaz buscado.
  • Bastará con dibujar con el compás un arco de centro O y radio OA.

Por semejanza de triángulos, se deduce que:

  • El ángulo formado por la recta s y la mediatriz m mide igual que el ángulo λ;
  • Por tanto, el ángulo con centro en O, conformado por la recta s y la recta simétrica a s, respecto de la mediatriz m, medirá el doble que el ángulo λ, es decir, AOB medirá 2λ.

Enlaces externos[editar]