Arco capaz

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Arco capaz de ángulo del segmento AB.

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo, es decir, el lugar geométrico de los vértices P de los ángulos APB que tienen la misma amplitud.

El arco capaz de ángulo de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos P tales que y son exclusivamente dos arcos de circunferencia, uno a cada lado del segmento AB, ambos puntos se incluyen uniendo dichos arcos.

Caso I: Centro del arco dentro del triángulo APB
Caso II: Centro del arco fuera del triángulo APB

Se considerarán dos casos:

  • Caso I: Centro del arco dentro del triángulo APB.
  • Caso II: Centro del arco fuera del triángulo APB.

Puesto que C es el centro del arco de circunferencia que pasa por A y B los segmentos CA, CB y CP son iguales, de tal manera que los triángulos PCB y ACP son isósceles.

Caso I

El lado PA tiene en sus extremos los dos ángulos iguales por lo que el ángulo exterior opuesto es la suma de estos .

El lado PB tiene en sus extremos los dos ángulos iguales por lo que el ángulo exterior opuesto es la suma de estos .

, por tanto, .

De este modo para cualquier punto P del arco, el ángulo visto por el punto P es siempre la mitad del ángulo visto desde el punto C.

Caso II

Como en el Caso I tenemos dos triángulos isósceles pero uno sobre otro.

, por tanto, .

Por lo tanto el ángulo que forma el segmento AB visto por el punto P sigue siendo la mitad del ángulo que ve el punto C y por tanto es el mismo que en el caso anterior.

No hay más puntos fuera del arco, ya que si los puntos P son interiores al arco capaz, entonces los ángulos APB son mayores de lo buscado, y si los puntos P son exteriores al arco capaz, entonces los ángulos APB son menores de lo buscado.

Arco capaz del ángulo de 90º

El arco capaz con ángulo = 90º corresponde con el 2º teorema de Tales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.

Construcción del arco capaz[editar]

Construcción del arco capaz respecto del segmento AB, de ángulo λ.

Para construir el arco capaz, de ángulo λ, del segmento AB es posible seguir varios métodos:

Primer método
  • Se traza un triángulo APB, tal que un lado es AB y su ángulo opuesto de amplitud λ (primero dibujamos el ángulo λ. Después trazamos el segmento AB: sus extremos son dos puntos de los lados del ángulo).
  • Se trazan las mediatrices del dicho triángulo.
  • Estas mediatrices se cortan en el punto O, que es el centro del arco capaz buscado.
  • Bastará con dibujar con el compás un arco de centro O y radio OA.

El punto O es el circuncentro: el centro de la circunferencia circunscrita. Equidista del vértice y de los puntos A y B.

Segundo método
Trazado del arco capaz de ángulo α.

Para encontrar el punto C sólo hay que tener en cuenta que el triángulo ACB también es isósceles por tanto el ángulo BAC debe ser ½ (180-2 α) = 90 - α. Se traza la mediatriz del segmento AB y una recta que pasa por el punto A y que forma un ángulo de 90 - α respecto del segmento AB, el punto donde esta recta corta la mediatriz es el centro del arco capaz del ángulo α.

Tercer método
  • Se parte únicamente del segmento AB.
  • Se traza la mediatriz m de dicho segmento;
  • A continuación se traza la recta r que forme un ángulo λ con el segmento AB, con vértice en A;
  • Desde A, se dibujará una segunda recta s perpendicular a la recta r.
  • El punto de corte O entre la recta s y la mediatriz m es el centro del arco capaz buscado.
  • Bastará con dibujar con el compás un arco de centro O y radio OA.

Por semejanza de triángulos, se deduce que:

  • El ángulo formado por la recta s y la mediatriz m mide igual que el ángulo λ;
  • Por tanto, el ángulo con centro en O, conformado por la recta s y la recta simétrica a s, respecto de la mediatriz m, medirá el doble que el ángulo λ, es decir, AOB medirá 2λ.

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