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Topología cociente

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Ilustración de un espacio cociente, S2, obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D2 a un solo punto.

En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

Definición

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Sean un espacio topológico y una relación de equivalencia sobre . El conjunto cociente es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de :

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en :

Definición equivalente: sea la aplicación proyección dada por , se definen los abiertos de como los conjuntos tales que es abierto. Es decir, un conjunto de clases de equivalencia es abierto si los elementos que las forman son un conjunto abierto de la topología original.

es, en efecto, una topología. (Según la definición equivalente)
ya que , que es un abierto de por definición de topología.

ya que , que es un abierto de por definición de topología.

Dados abiertos de , tenemos que por definición de topología cociente. Por ser topología, , pero .

Dados abiertos de , tenemos que por definición de topología cociente. Por ser topología, , pero .

Propiedades

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  • La aplicación proyección al cociente que envía a cada elemento a su clase de equivalencia correspondiente es continua[1]​y la topología cociente es la más fina que se puede definir en que cumple esto. Es decir, la topología cociente es la topología final respecto a la proyección al cociente.
Demostración
Claramente, la topología cociente hace la proyección al cociente continua. En efecto, para ver que es continua, tomamos abierto y vemos que su antiimagen por es abierta de . Pero por ser abierto de la topología cociente, por definición, es un abierto, que es lo que queríamos.

Que es la más fina que lo cumple también es inmediato por definición. Si es una topología de más fina que , por definición, necesariamente tiene un abierto con no abierto de , y esto contradice la definición de continuidad.

  • Sean la proyección al cociente y una aplicación. Entonces, la aplicación es continua si, y sólo si, la composición es continua.[1]
Demostración
Como es continua por hipótesis y ya se ha demostrado que es continua, es continua por ser composición de aplicaciones continuas.

Sea abierto y veamos que su antiimagen por , , es un abierto de . Esto es equivalente, por definición de topología cociente, a ver que es un abierto de , pero esto es cierto por ser continua, por hipótesis.

  • La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, T) y cualquier función g:(Y, ) (Z, T) se tiene que g es continua si y sólo si es continua

Ejemplos

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En los siguientes ejemplos los homeomorfismos se construyen primero deformando el espacio cociente sin tener en cuenta la relación de equivalencia (cortándola) y después pegando los trozos que estaban relacionados. Es decir, estamos admitiendo que podemos construir un homeomorfismo entre dos espacios cociente a partir de uno entre los espacios originales siempre y cuando los elementos relacionados antes y después del homeomorfismo sean los mismos. Este resultado, que justifica que las construcciones siguientes son correctas, se conoce como lema de cortar y pegar, y se demuestra a continuación

Lema de cortar y pegar: Sea un homeomorfismo y relaciones de equivalencia en e , respectivamente, que satisfacen que .

Entonces, la aplicación dada por está bien definida y es un homeomorfismo.

Está bien definida: sean y veamos que la imagen por de su clase de equivalencia no depende de cuál tomemos como representante.

En efecto, , que es lo que queríamos.

es exhaustiva: Sea , con representante . Como es homeomorfismo y, en particular, exhaustiva, tal que . Pero entonces y tenemos una antiimagen de .

es inyectiva: Supongamos que y veamos que . En efecto, .

es continua. Sean las proyecciones a , respectivamente. Tenemos que :

En efecto, dado , . Pero es continua por ser homeomorfismo y por ser una proyección al cociente. Por tanto, también lo es la composición , pero por la segunda propiedad del apartado de propiedades esto quiere decir que es continua.

es continua. La demostración es la misma que pero heredando continuidad de (continua por ser homeomorfismo).

  • El toro como conjunto cociente:[1]​ Sobre se define la relación de equivalencia y . El espacio cociente es homeomorfo a un toro.
Toro
Toro
  • La banda de Möbius como conjunto cociente:[1]​ Sobre se define la relación de equivalencia . El espacio cociente es homeomorfo a una banda de Möbius.
Banda de Möbius
Banda de Möbius
  • La botella de Klein como conjunto cociente:[2]​ Sobre se define la relación de equivalencia y . El espacio cociente es homeomorfo a una botella de Klein (es difícil de visualizar puesto que no es homeomorfo a un subespacio de ).
  • La esfera como conjunto cociente:[3]​ Sobre (cuadrado de vértices ) se define la relación de equivalencia para de la frontera. El espacio cociente correspondiente es homeomorfo a una esfera.

Referencias

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  1. a b c d Llopis, José L. «Espacio topológico cociente». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
  2. A. Stolz, Stephan. Algebraic Topology (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
  3. Classification of surfaces (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 

Bibliografía

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Enlaces externos

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