Función racional

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RationalDegree2byXedi.gif
Función racional de grado 2:
 y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}
RationalDegree3byXedi.gif
Función racional de grado 3:
 y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.[1]

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos[editar]

Función homográfica:

f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.[2]

Propiedades[editar]

  • Toda función racional es de clase C^\infty en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
  • Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de funciones racionales[editar]

Dada una función racional:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]

Si el denominador es un polinómico mónico \scriptstyle Q(x) con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k}
(x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\
k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}

Si \scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q) entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

\begin{matrix}
f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\
f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\
f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}

Por lo que la integral de la función \scriptstyle f_i(x) es una combinación lineal de funciones de la forma \scriptstyle F_i(x) :

\begin{matrix}
F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\
F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) =
\cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}}
+ \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\
F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) &
F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Véase también[editar]

Referencias[editar]