Triángulo equilátero

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Triángulo equilátero
Regular triangle.svg
Un triángulo equilátero es un polígono regular.
Lados y vértices 3
Símbolo de Schläfli {3}
Ángulo interno
(grados)
60°

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°.

Construcción[editar]

Todo triángulo equilátero consta de tres lados iguales y tres ángulos congruentes entre sí. Teniendo esto en cuenta, su construcción puede resultar muy sencilla.

Para lograr una congruencia en los lados, es aconsejable trazar el triángulo dentro de una circunferencia (circunscrito), para ello se pueden emplear los siguientes pasos:

  • Trazar la circunferencia con el compás.
  • Trazar un radio y, a partir de éste, marcar con el transportador un ángulo de 120°.
  • Partiendo del trazo anterior, trazar otro ángulo de 120° (puede hacerse nuevamente con el transportador o auxiliándose del compás).
  • Unir los puntos.

Una alternativa puede ser la siguiente:

  • Teniendo dos puntos unidos en línea recta (A y B).
  • Trazar una circunferencia con centro en A con radio igual a la distancia entre A y B.
  • Trazar una circunferencia con centro en B con radio igual a la distancia entre A y B.
  • Siendo Γ el punto en el que se cortan las dos circunferencias construidas, unir Γ con A y B.

Propiedades[editar]

  • La altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz de un triángulo equilátero son iguales, como segmentos y tienen la misma medida, por la simetría de la figura y perpendicularidad de tales segmentos.
  • El baricentro, el incentro, circuncentro, ortocentro coinciden en un mismo punto y su distancia a un vértices es el doble de su distancia a la base.
  • Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0º, 120º y 240º llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6 [1]
  • Dos triángulos equiláteros con un lado común forman un paralelogramo o, mejor aún, un rombo.
  • Tres triángulos, dos a dos con un lado común, conforman un trapecio isósceles.
  • Cuatro triángulos equiláteros si se disponen adecuadamente forman un triángulo equilátero de cuatro veces el área y doble perímetro del original.
  • La altura de un triángulo equilátero la biseca en dos triángulos rectángulos congruentes, tal que en cualquiera de ellos se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de 30º, como el de 60º.
  • Seis triángulos equiláteros pueden integrar un exágono regular [2]

Relaciones métricas y área[editar]

Dada cualquier longitud a\,, es posible determinar por medio del Teorema de Pitágoras las siguientes propiedades:

Triángulo equilátero.


El valor del área, en función del lado a, es igual a A=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}

El valor del área, en función del radio R de la circunferencia cirnscrita, es igual a A=3R^2\frac{\sqrt{3}}{4}

El valor del área. usando el radio r del radio de la circunferencia inscrita, es igual a A=3r^2\sqrt{3} [3]

Cultura popular[editar]

Los triángulos equiláteros con frecuencia han aparecido en las construcciones hechas por el hombre:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]

  • Fraleigh. Álgebra abstracta
  • Casos directamente comprobables
  • Fácilmente comprobable con los datos inmediatamente precedentes