Triángulo equilátero

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda
Triángulo equilátero
Triángulo para tabla 01.svg

Tres lados iguales y sus tres ángulos son de 60°
Características
Lados 3
Vértices 3
Grupo de simetría
Símbolo de Schläfli {3/1}
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Polígono dual Triángulo equilátero
Propiedades
Convexo
Ángulos y lados cogruentes.

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular, es decir, de tres lados iguales.[1]​ En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos son iguales y miden 60°.

Propiedades[editar]

SimetriasDelTriánguloEquilátero.svg

El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Por simetría del triángulo equilátero, se tiene que:

  • Cada altura, mediana, bisectriz, mediatriz y eje de simetría de un triángulo equilátero coinciden sobre una misma recta. Por tanto el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro coinciden en un mismo punto central.
  • Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0º, 120º y 240º llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6. Además las tres rotaciones forman un subgrupo cíclico.[2]
  • Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes.
  • Los ángulos del triángulo son de 60º si y solamente si los lados son iguales.
TrianguloEquiláteroAngulosDe60.svg
Solo hace falta saber que los ángulos son iguales y la suma tiene que ser 180º.

Formulario[editar]

Fórmulas relativas al valor del lado de un triángulo equilátero:

  • Su perímetro es:
  • La altura es:
Triángulo semejante de razón
Aplicando el teorema de Pitágoras a una mitad del triángulo dividida por la altura se tiene que:
  • El radio de una circunferencia circunscrita es:
  • El radio de una circunferencia inscrita es:
TriánguloEquiláteroSemejanza001.svg

Aplicando semejanza sobre la mitad del triángulo y uno de los pequeños.

Se deduce así que y, por tanto, la distancia del centro a un vértices es el doble que la distancia del centro a una base.

CircunferenciasInscritasYCircunscritas03.svg
  • El área es:
    • El área en función de la altura h del triángulo es:
    • El área en función del radio R de la circunferencia circunscrita es:
    • El área en función del radio r de la circunferencia inscrita es:

Construcciones[editar]

Según símbolo de Schläfli se pueden obtener las siguientes construcciones:

  • {3/1} es el triángulo equilátero.

Utilización prehistórica[editar]

  • Se utilizaron triángulos equiláteros como base de las construcciones descubiertas en el yacimiento prehistórico de Lepenski Vir, en Serbia.
Lepenski Vir (2).JPG

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Matriz de traducción[editar]

Enlaces externos[editar]