Teselado

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Un teselado visto en el pavimento de una calle
Teselado hexagonal de un piso en Roma
Ejemplo de pavimento teselado natural en la península Tasman, Tasmania, Australia.

Los términos teselaciones y teselado[1] hacen referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

  1. Que no queden espacios.
  2. Que no se superpongan las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie.

Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

  • Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
  • Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
  • Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
  • Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, e iniciaron así el estudio sistemático y profundo de los teselados.
  • Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.
Ángulos que concurren a un vértice

Teselados regulares[editar]

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Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

En cada vértice la suma de ángulos es de 360º, para que no queden espacios:

Ejemplo: Los cuadrados, al tener ángulos de 90°, pueden encajar cuatro por vértice y teselar localmente el entorno de dicho vértice.

Teselados semirregulares[editar]

Son aquellos que contienen dos o más polígonos regulares en su formación.

Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades:

  1. Está formado sólo por polígonos regulares.
  2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
  3. Sólo existen ocho teselados semirregulares.

Teselados con figuras semi-regulares

Teselados irregulares[editar]

Son aquellos formados por polígonos no regulares, pero nunca dejan espacios o fisuras.

Cuadriláteros[editar]

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo deben prolongarse sus lados paralelos y construirse los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar, con el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible.

Diagrama de cuadrilátero que tesela


=[editar]

Construcción de teselados[editar]

Método "Quita y ponla y remoja"[editar]

Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con estos métodos.

Teselados e isometría[editar]

A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.

Notación[editar]

La notación comúnmente empleada para identificar los distintos tipos de teselados se debe a A. P. Rollett y Henry Martyn Cundy. En su libro Modelos matemáticos (1951), los autores proponen una nomenclatura consistente en enumerar en el sentido de las agujas del reloj y, separados mediante puntos, los lados de los polígonos que rodean cada vértice. De esta forma, la nomenclatura de los teselados regulares sería 3.3.3.3.3.3 en el caso de triángulos equiláteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formado mediante cuadrados y, finalmente, para un teselado compuesto de hexágonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo de acortar la notación, se acepta que, cuando el mismo polígono rodea en varias ocasiones el mismo vértice, se indica mediante un superíndice el número de veces que esto sucede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita de los teselados regulares pasará a ser 36, 44 y 63, respectivamente.

Originalmente, la notación fue concebida únicamente para describir teselados regulares pero, en la actualidad, su uso se ha extendido igualmente a teselados semi-regulares. La nomenclatura de los ocho teselados semi-regulares existentes es la que aparece en el apartado correspondiente. Del mismo modo, también se acepta el uso de esta notación para teselados compuestos por polígonos regulares en los que no todos los vértices están rodeados por los mismos polígonos. Recientemente, una nueva nomenclatura ha sido propuesta por el Grupo EGICAD de la Universidad de Cantabria, en un intento de dar respuesta a los inconvenientes (excesiva longitud, relación no unívoca, no intuitiva) que presenta la nomenclatura de Cundy y Rollett.[2]

Teselados y mallas de doble capa[editar]

Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la que los nudos se disponen en dos capas o superficies, generalmente paralelas entre sí, y se unen mediante barras situadas bien en uno de los dos planos anteriormente mencionados o en el espacio situado entre ellos. Así, se distingue entre cordón inferior, cordón superior y cordón diagonal.

Cada uno de los cordones anteriormente mencionados, que compone una malla de doble capa, puede representarse como un teselado, de forma que toda malla de doble capa resulta de la combinación de tres teselados (inferior, superior, diagonal).[3]

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. El Diccionario de la lengua española, de la Real Academia Española, recoge «teselado».
  2. Generation and Nomenclature of Tessellations and Double-layer Grids, Gómez-Jáuregui V., Otero C., Arias R. and Manchado C.
  3. Diseño geométrico de cúpulas no esféricas, Otero C.

Enlaces externos[editar]