Altura (geometría)

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Altura de un triángulo»)
Saltar a: navegación, búsqueda
Un paralelepípedo mostrando los nombres de sus dimensiones: longitud, anchura y altura.

La altura de un objeto o figura geométrica es una longitud o una distancia de una dimensión geométrica, usualmente vertical o en la dirección de la gravedad. Este término también se utiliza para designar la coordenada vertical de la parte más elevada de un objeto.

Coloquialmente, el sustantivo «altura» puede ser reemplazado por «alto» (adjetivo sustantivizado), que la Real Academia Española acepta como vigesimotercera acepción en su Diccionario.[1]

Altura en el plano coordenado[editar]

En coordenadas cartesianas (x, y), en el plano, la altura se refiere a la distancia perpendicular al eje X, o la longitud o distancia entre un vértice y el lado opuesto (o su prolongación), denominado «base» si está en posición horizontal. La altura siempre es perpendicular a la base. Un triángulo tiene tres alturas diferentes respecto de sus tres lados y vértices.

Altura en figuras geométricas planas[editar]

En el plano, la altura de una figura geométrica relativa a un lado, considerado como horizontal, es la distancia que hay desde el punto más alto de la figura hasta dicho lado.

  • En un paralelogramo, la altura es la menor distancia entre los dos lados paralelos.
  • En un cuadrilátero con al menos dos lados paralelos, la altura es la menor distancia entre los dos lados paralelos.

Alturas de un triángulo[editar]

La altura de un triángulo respecto de un lado es la recta o segmento perpendicular a dicho lado o a su prolongación y que pasa por el vértice opuesto, y por extensión, longitud de dicho segmento.[2]

Definición[editar]

La altura de un triángulo es el segmento de perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado opuesto o la prolongación del mismo. [3]

Nomenclatura[editar]

  • La intersección de la altura y el lado opuesto o prolongación en su caso se denomina «pie» de la altura.
  • Se llama altura de un triángulo a la distancia que hay entre un lado y el vértice opuesto.

La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, siendo su valor: a = b·h/2, donde a es el área, b la base –la longitud del lado "inferior"–, y h su altura correspondiente.

Ésta fórmula se puede demostrar, geométricamente, trazando un rectángulo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base.

Características y propiedades[editar]

En todo triángulo:

  • Al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo;
  • La altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del triángulo;
  • Las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo;
  • La suma de las tres alturas de todo triángulo es menor que el perímetro de este.[4]

Cálculo de las alturas de un triángulo[editar]

Para un triángulo ΔABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados (a, b, c), se pueden calcular las respectivas longitudes de las alturas (ha, hb, hc) aplicando las siguientes fórmulas:

  • h_{a}=\frac{\tau }{a}
  • h_{b}=\frac{\tau }{b}
  • h_{c}=\frac{\tau }{c}

Donde ha es la altura correspondiente al lado a, hb es la altura correspondiente al lado b, hc es la altura correspondiente al lado c y el término \tau es:

\tau =\frac{1}{2} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}
h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ; h_b = \frac{2}{b} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ; h_c = \frac{2}{c} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} [5]

Altura en tres dimensiones[editar]

Esquema elemental de posicionamiento espacial, consistente en un marco de referencia respecto a un origen dado.

La altura de un objeto o figura geométrica es una longitud o una distancia, usualmente vertical o en la dirección de la gravedad. Este término también se usa para designar la coordenada vertical de la parte más elevada de un objeto.

En coordenadas cartesianas (x, y, z), la altura de los volúmenes corresponde a la coordenada Z que es la que se sitúa perpendicular al suelo (vertical), normalmente, ya que X e Y son asignados a valores horizontales: anchura (o ancho) y longitud (o largo).

Altura de sólidos[editar]

  • La altura de una pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. En el caso del tetraedro, que es un caso especial de pirámide, hay cuatro alturas; partiendo cada una de cada vértice.

Altura en otros contextos[editar]

En simulación 3D

  • El color verde representa al eje Z.
  • En las Normal Maps (un sistema que simula superficies de detalle por medio de colores) la base azul representa el valor 0 (base). La X (±1) representa el color rojo, y la Y (±1) representa el azul, que da los valores de elevación (RGB)

Notas y referencias[editar]

  1. Según el artículo alto en el Diccionario de la lengua española.
  2. «Altura», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=altura .
  3. Richard Naredo Castellanos «Entrénate en la geometría». Editorial Pueblo y Educación, La Habana (2014 ISBN 978-959-13-2066-9
  4. Analice los tres casos: triángulo rectángulo, acutángulo y oblicungulo
  5. Edgard de Alencar de Filho «Exercícios de geometría plana»

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]