Raíz cuadrada de tres

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La raíz cuadrada de 3 es igual a la longitud a través de los lados planos de un hexágono regular con los lados de la longitud 1.

La raíz cuadrada de tres es un número real positivo que cuando es multiplicado por sí mismo da el número tres. Se denota por

\sqrt{3}.

Su valor numérico por truncamiento con diez cifras decimales es de 1,7320508075 (secuencia nº A002194 del OEIS).

 y = \sqrt 3,\qquad y = 3^{\frac{1}{2}} dos notaciones para el mismo número irracional que representa la altura de un triángulo equilátero de lado 2 [1]

La raíz cuadrada de 3 es un número irracional. También se conoce como constante de Teodoro nombrada en honor de Teodoro de Cirene.

Geometría[editar]

Si un triángulo equilátero con los lados de longitud 2 se corta en dos partes iguales, mediante la bisectriz de un ángulo interno se forma en el lado bisecado, un ángulo recto con un lado. El ángulo recto conforma un triángulo rectángulo de hipotenusa con longitud 2 y los catetos, uno de longitud 1 y otro, de \sqrt{3}. En consecuencia, el valor de tan60º es igual a \sqrt{3}.[2]

Esto es la distancia entre los lados planos opuestos de un hexágono regular con los lados de la longitud 1.

Square root of 3 in cube.svg

La raíz cuadrada de 3 también es igual a la diagonal de un cubo cuyos lados tengan todos como medida 1, esto puede ser demostrado por el teorema de Pitágoras de la siguiente forma:

Ya que las caras que forman el cubo tienen también medida 1 podemos demostrar que la diagonal de cualquiera de sus caras mide la raíz cuadrada de 2 así:

1^2+1^2 = x^2\,\!;
x = \sqrt 2

Ahora construyendo un rectángulo cuya superficie abarque todo el paso de la diagonal del cubo, ese rectángulo tendría unos lados cuyas medidas serían \sqrt 2 y 1, siendo la diagonal de este rectángulo la diagonal del cubo, por lo que al calcular esa diagonal vemos que:

1^2+(\sqrt 2)^2 = x^2;
x = \sqrt 3

Quedando demostrado que la diagonal de un cubo cuyos lados tengan como medida uno es igual a la raíz cuadrada de 3.

Trigonometría[editar]

De modo natural, surge la raíz cuadrada de tres en el cálculo del seno de 60º y complementariamente en el del coseno de 30º. También usando la circunferencia goniométrica, aparece la raíz de tres al definir el seno y coseno de 120º y 240º, Luego en el plano complejo, las raíces cúbicas complejas de 1, conllevan la raíz cuadrada de tres.

El seno de 15º vale  \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}

El coseno de 15º vale  \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} [3]

Distintas expresiones[editar]

Binario: 1.1011101101100111101...
Decimal: 1.7320508075688772935...
Hexadecimal: 1.BB67AE8584CAA73B...
Fracción continua: 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \ldots}}}}}

Referencias[editar]

  1. E. T. Bell. Historia de las matemáticas
  2. Presentación clásica con un triángulo equilátero de lado 2
  3. Se calcula con la fórmula de las razones del ángulo mitad, usando las del ángulo original

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]