Incentro

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Un triángulo y su incentro I. Las líneas rojas son las bisectrices de los tres ángulos internos.
Incentro I

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Junto con el baricentro, circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro centros del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

En la Enciclopedia de los Centros del Triángulo[1] (obra del matemático estadounidense Clark Kimberling) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triángulo.[2] [3]

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del polígono. En este caso, el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados.

Coordenadas cartesianas[editar]

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas , , y , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes , , y , el incentro tendrá por coordenadas :

Coordenadas trilineales[editar]

Las coordenadas trilineales del incentro son

La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto. En este grupo, el incentro es el elemento identidad.[3]

Coordenadas baricéntricas[editar]

Las coordenadas baricéntricas del incentro son

donde , , y son las longitudes de los lados del triángulo, o de forma equivalente (utilizando el teorema de los senos) se pueden definir como

donde , , y son los ángulos de los tres vértices del triángulo.

Otras propiedades[editar]

Distancias a los vértices[editar]

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación[4]

Adicionalmente,[5]

donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

Otros centros[editar]

La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.[6]

De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por[7] [8]

donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero[9] :p. 198).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es[8]

La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es[10]

Existen inecuaciones que afirman que:

El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo. Recíprocamente, el punto de Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario.[11]

El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G). Ningún otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triángulos singulares.[12]

Recta de Euler[editar]

La recta de Euler de un triángulo pasa a través de su circuncentro, su centroide, y su ortocentro, además de por otros puntos notables. El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;[13] salvo para los triángulos isósceles,[14] en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:[15]

Divisiones de área y de perímetro[editar]

Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro. Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.[16]

Distancia relativa de los puntos de una bisectriz[editar]

Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A. Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente a lo largo de la bisectriz.[17] [18]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Encyclopedia of Triangle Centers
  2. Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 .
  3. a b Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.
  4. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 .
  5. Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications . #84, p. 121.
  6. Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 . Lemma 3, p. 233.
  7. Johnson (1929), p. 186
  8. a b Franzsen (2011), p.  232.
  9. Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
  10. Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
  11. Franzsen (2011), Lemma 1, p.  233.
  12. Franzsen (2011), p. 232.
  13. Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 
  14. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» .
  15. Franzsen (2011), pp. 232–234.
  16. Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 .
  17. Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
  18. Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

Enlaces externos[editar]